पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे

Submitted by टवणे सर on 1 February, 2016 - 14:18

जर मूळ संख्या अनंत असतील, तर पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे (primitive Pythagorean triplet) पण अनंत असतील का?
या विधानाचा व्यस्त पण खरा असेल का?

Group content visibility: 
Public - accessible to all site users

पण मग व्यस्त आहे तरी काय ?

" जर पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे अनंत असतील तर मूळ संख्या ही अनंत असतील " ???

मूळ त्रिकुटे अनंत असतात. https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple
युक्लीडच्या फॉर्म्युला नुसार,
m आणि n या धन संख्यांसाठी m > n
a = (m)२ - (n)२ , b = 2mn , c= (m)२ + (n)२ (२ हा वर्ग आहे )
अशाप्रकारे निर्माण होणारी त्रिकूटे जर m आणि n हे को-प्राईम (लसावी १, म्हणजेत त्यांना १ सोडून कुठल्याही संख्येने पूर्ण भाग जात नाही ) असतील आणि त्यापैकी एक सम आणि एक विषम असेल तर 'मूळ' त्रिकुटे असतील. दोन्ही सम किंवा दोन्ही विषम असतील तर a, b आणि c सगळे सम येतील आणि ते मूळ त्रिकूट असणार नाही कारण त्याला २ ने नक्की भाग जाईल.
या समीकरणाने सगळी मूळ त्रिकूटे मिळतील. वरच्या सगळ्या समीकरणात स्थिर k टाकला, तर सगळी (मूळ आणि मूळ नसलेली) त्रिकुटे मिळतील.
जर संख्या अनंत आहेत, तर त्रिकूटे ही अनंत असतील. कसं सिद्ध करायचं माहित नाही, पण इंट्युटीव्हली अनंत असतील.
वरील माहिती विकी वरच्या पानावरून आहे, तिकडे युक्लीडच्या समीकरणाची सिद्धताही आहे.

मी आता हेच वाचत होते ..

मूळ त्रिकुटे अनंत असतील असं "वाटत" आहे .. पण दुसर्‍या प्रश्नाचा रोख नीट कळत नाही ..

या विधानाचा व्यस्त खरा असेल का? व्यस्त हा आहे ? "पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे जर अनंत असतील तर मूळ संख्याही अनंत असतील" किंवा पॅराफ्रेज्डः मूळ संख्या अनंत आहेत हे पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे अनंत आहेत ह्याने(ही) प्रूव्ह होतं का?

व्यस्त असं प्रुव्ह होत नसावं. कारण 'त्रिकुटे अनंत आहेत' कारण 'मूळ संख्या अनंत आहेत', असं म्हटलं तर जे ह्या विधानात पक्ष आहे, तेच व्यत्यासात पक्ष करून साध्यांची अदलाबदल म्हणजे चीटिंग वाटते. गणितज्ञ सांगतीलच.
अ --> ब म्हणून ब--> अ हे काय बरोबर 'वाटत' नाही.

सशल तू दिलेली दोन्ही विधाने मला अपेक्षित आहेत. म्हणजे जर पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे अनंत आहे असे सिद्ध झाले तर मूळ संख्या अनंत आहेत हे सिद्ध होते का.

अजून एक म्हणजे मला वरची दोन्ही विधाने खरी आहेत का नाहीत ते माहिती नाही. मीदेखील प्रश्न म्हणुनच विचारले आहे.

समजा आपल्याला युक्लिडचे प्रम्मेय माहिती नाहिये, बीजगणित पण येत नाही. फक्त अंकगणित येते. असे असेल तर वर्ग (उदा. ४, २५, ४९, ६४ वगैरे) संख्यांची एक गंमत आहे. त्यांचे पार्टिशन पाडले तर अनेक पार्टिशन्सपैकी एक पार्टिशन ही एक मूलभूत आणि सोपी सिरीज येते. ती म्हणजे प्रत्येक वर्ग हा १ पासून सुरु करून सर्व विषम संख्यांची बेरीज असतो. उदा. ४ = १+३, ९ = १+३+५, १६ = १+३+५+७, २५ = १+३+५+७+९ असे अनंतापर्यंत. समजा क्ष एक विषम संख्या आहे जी पूर्ण वर्ग आहे. उदा. २५. मग क्ष वजा २ पर्यंतच्या विषम संख्यांची बेरीज एक वर्ग असणार. त्यात क्ष मिसळला की पुढचा वर्ग मिळणार.
१+३+५+७+.....+२३ याचे उत्तर एक वर्ग असेल. जे आहे १४४.
१४४ मध्ये २५ जमा केले की १६९ येतात जो १३ चा वर्ग आहे.
क्ष जर कुठल्याही संख्येचा वर्ग असेल तर १+३+५+...+(क्ष-२) आणि क्ष यांची बेरीज {१+३+५+...+(क्ष-२)} चे जे वर्गमूळ असेल त्याच्या पुढल्या संख्येचा वर्ग असेल.

तर जर अनंत मूळ संख्या असतील तर अनंत क्ष असतील आणि म्हणुन अनंत पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे असतील.

हे बरोबर आहे का?

अमित, मग व्यस्त काय आहे त्याचा? (व्यस्त नीट लिहीता तर यायला हवा पुढच्या चर्चेसाठी? ;))

( मराठीत लिहीलेलं कळायला फार त्रास होतो .. व्यस्त आणि व्यस्तास, पक्ष - कन्फ्युजन ही कन्फ्युजन है .. Wink

व्यस्त = व्यस्तास = कॉन्व्हर्स?
पक्ष = ?)

व्यस्त म्हणजे कॉन्वर्स ना? मला कॉन्वर्स अपेक्षित आहे.
आत्ता कॉन्वर्स सोडून देऊ. फक्त पहिले विधान बरोबर आहे का ते बघुया

तर जर अनंत मूळ संख्या असतील तर अनंत क्ष असतील >> इथ पर्यंत समजलं. पण यावरून पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे अनंत असतील हे कसं काढलं?
थोडक्यात, पुढची वर्ग संख्या काढायला यावर्ग संख्येतील विषम सांख्याची फोड करून आलेल्या समीकरणात पुढची विषम संख्या मिळवायची हे समजलं, पण याने मूळ त्रिकूट कशी मिळतात?

म्हणजे १२ च्या फोडीत २५ मिळवले की १३ चा वर्ग आला. मग १४ , १५ असे वर्ग मिळत जातील.
पण ५, १२, १३ हे रिलेशन कसं मिळवायचं?

म्हणजे १२ च्या फोडीत २५ मिळवले की १३ चा वर्ग आला. मग १४ , १५ असे वर्ग मिळत जातील.
पण ५, १२, १३ हे रिलेशन कसं मिळवायचं?
>>>
ते सोप्पं आहे की.
विषम संख्यांची बेरीज करत जायचे. ज्या क्षणी पुढची विषम संख्या पूर्ण वर्ग असेल त्या क्षणी थांबायचे. तोपर्यंतची बेरीज ही कुठल्यातरी संख्येचा वर्ग आहे. त्या बेरजेचे वर्गमूळ हे अ, ज्या विषम संख्येशी आपण थबकलो त्या संख्येचे वर्गमूळ ब आणि अ+१ = क.
म्हणजे १+३+५ असे २३ पर्यंत जायचे. २५ पूर्ण वर्ग. म्हणुन इथेच थांबायचे. १+३+५+..+२३ = १४४. हा १२ चा वर्ग. म्हणुन अ= १२, ब = ५ (२५ चे वर्गमूळ) आणि क = १३ (अ+१ )
समजा २५ शी आपण थांबलो नाही. आणि २९ला थांबलो. म्हणजे अ = (१+३+५+...+२५+२७) ^ १/२
पण ब = (२९) ^१/२. आता ब रॅशनल नंबर नसणार. म्हणुन हे त्रिकुट नाही.
पुढचे त्रिकुट ४९ ला मिळेत. ७,२४ आणि २५

ओके, मला उत्तर मिळाले.
मूळ संख्येचा वर्गच पाहिजे असे नाही. ९, ४०, ४१ हे पण मूळ त्रिकुटच आहे. कारण कुठलेही दोन लागोपाठचे नंबर हे कोप्राइमच असणार की.

८, १५, १७ किंवा कुठल्याही +१ नसणाऱ्या जोड्या मिस होतील ना याने?
अर्थात सगळ्या मूळ जोड्या शोधणे हा उद्देश नाही, आणि मूळ जोड्यांचा सबसेट जर अनंत असेल तर मूळ जोड्याही अनंत असतीलच. ओके.

ह्यावर आधीच लिहिले असल्याने रिक्षा - http://www.maayboli.com/node/46221

जाता जाता <मूळ जोड्यांचा सबसेट जर अनंत असेल तर मूळ जोड्याही अनंत असतीलच.> ह्याला +१.

विकी वरून आणखी गंमतीशीर माहिती
१. कर्ण आणि मोठी बाजू यात १ चा फरक असलेली अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत. (५, १२, १३ अशी)
२. दोन बाजू (कर्ण नाही) मध्ये १ चा फरक असलेली ही अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत (२०, २१, २९ अशी)
३. दोन बाजू (कर्ण नाही) मध्ये २ चा फरक असलेली ही अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत (८, १५, १७ अशी)
४. (४n+ २) सूत्रात न बसणारी (२ पेक्षा मोठी) प्रत्येक धन संख्या मूळ त्रिकुटात असतेच. उदा. १० नाही पण ११ १२ १३ आहेत. (११, ६०, ६१ - १२, १३, ५ इ. )
५. आता या ४n + २ सूत्रात बसणाऱ्या संख्याही त्रिकुटात असतातच, फक्त ती मूळ नसतात. थोडक्यात २ पेक्षा मोठ्या सगळ्या संख्या त्रिकुटात असतात. Happy
ही पटकन समजली आणखी बरीच आहेत. भास्कराचार्य लेख वाचतो.

<<व्यस्त = व्यस्तास = कॉन्व्हर्स?>>

व्यत्यास ना?

आता सकाळी सकाळी एवढंच डोकं चाललं.

टण्याच्या लॉजिकने अनंत मूळ संख्या आहेत म्हणून अनंत मूळ त्रिकूटे असतील हे बरोबर आहे. पण ते खरे तर अनंत विषम संख्या आहेत म्हणून अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत. वीकर हायपॉथिसीसने रिझल्ट मिळणे हे जास्त स्ट्राँग स्टेटमेंट आहे (एकच मूळ संख्या असती तरी तिच्या प्रत्येक घातासाठी एक मूळ त्रिकूट मिळाले असते.)

व्यत्यासाबद्दल लगेच काही सांगता येत नाही, बहुधा काही संबंध नसावा, पण खोलवर विचार करतो आणि मग जास्त अधिकाराने काय म्हणायचे ते म्हणतो. Happy

विषम संख्या घ्या .

त्याचा वर्ग करा.

वर्गाचे १ च्या फरकाचे दोन हिस्से करा.

त्रिकुट दिसेल.

५ .... वर्ग २५ ..... दॉन हिस्से ... १२ , १३

५ , १२ ,१३