अमूर्त गणिताबद्दल थोडेसे

Submitted by भास्कराचार्य on 22 February, 2013 - 20:28

ह्या ग्रूपचे नाव 'संशोधन पूर्ण झालेले मायबोलीकर' असे नसून 'संशोधनक्षेत्रातील मायबोलीकर' असे आहे. त्यामुळेच येथे लिहिण्याची जुर्रत करतो. {ग्रूप निर्मात्याचे/ निर्मातीचे आभार मानून. Happy } मी अमूर्त गणितात सध्या पीएचडी करत आहे. आज जरा गणिताविषयी लिहीन. पुढे कधीतरी मी स्वतः काय करतो याबद्दल माहिती देईन.

टीप : येथून पुढे मी 'अमूर्त गणित' आणि 'गणित' हे शब्द बहुतांशी समान अर्थाने वापरेन.

गणित म्हणजे काय?

यासंदर्भात माझे आवडते एक वाक्य देतो. 'To think deeply of simple things.' गणिताचा राजकुमार म्हणून गौरविल्या गेलेल्या कार्ल फ्रेडरिक गॉस (http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss) ह्याच्या विचारांमधून घेतलेले हे वाक्य. साध्या गोष्टींचा खोलवर विचार करणे. ह्या अनुषंगाने एक गोष्ट अशी लक्षात येते, की साध्या गोष्टी ह्या सोप्या नसतात. (Simple is not easy.) साध्या गोष्टी ह्या साध्या का आहेत, हे जाणून घेण्यातच गणितज्ञांचा बराच वेळ खर्ची पडतो असे मला वाटते.

ह्याचं सर्वात झगझगीत उदाहरण म्हणजे नैसर्गिक संख्या. (Natural Numbers.) प्रत्येकजण लहानपणीच मोजायला शिकतो. पण नैसर्गिक संख्या म्हणजे नक्की काय किंवा नैसर्गिक संख्येची व्याख्या काय हा प्रश्न तसा महत्वाचा आहे. ह्याचं समाधानकारक उत्तर देण्याचा प्रयत्न बर्‍याच जणांनी केलेला आहे. बर्ट्रांड रसेल सारख्या विचारवंताला ह्यात अडथळे आलेले आहेत. (पहा - http://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers...) 'गोडेलचा अपूर्णत्वाचा सिद्धांत' ( पहा - http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems) हा तर्कशास्त्रातला महत्वाचा सिद्धांत येथे लागू होतो असे दिसते. आजकालचा प्रत्येक गणितज्ञ याविषयी फार विचार करणार नाही. पण गणिताच्या अमूर्त असण्याची चुणूक अशी दिसून जाते. आपण ज्या गोष्टी अगदी सहज वापरून जातो त्या वापरता सहज येतात, पण त्यांच्याविषयी माहिती मिळवणे फार कठीण असू शकते, हा सारांश.

हा प्रश्न बराच पराभौतिकीय (metaphysical) किंवा तात्विक वाटू शकतो आणि तो तसा आहेसुद्धा. गणितात काम करणारा प्रत्येक माणूस ह्या अशा प्रश्नांवर काम करत नाही. संख्या म्हणजे काय ह्यावर फारसा विचार न करता त्यांच्या वेगवेगळ्या गुणधर्मांवर काम करता येऊ शकते. अशा प्रश्नाचे एक उदाहरण म्हणजे विख्यात 'फर्माचा शेवटचा सिद्धांत'. (Fermat's Last Theorem.)

क्ष^न + य^न = झ^न .... (१)

हे एक समीकरण आहे ज्यात न ही २ पेक्षा मोठी एक नैसर्गिक संख्या आहे. आपल्याला अशा नैसर्गिक संख्या क्ष, य आणि झ शोधायच्या आहेत, ज्या ह्या समीकरणात बसतील आणि त्या तिघांपैकी कोणतीही ० नसेल. (नाहीतर क्ष, य = ० आणि झ = क्ष हे उत्तर सरळसरळ दिसते.)

जर न = २ असेल, तर हे समीकरण आपणा सर्वांनाच ज्ञात असेल.

क्ष^२ + य^२= झ^२ .... (२) (पायथागोरस समीकरण.)

हे पायथागोरस सिद्धांतापेक्षा वेगळे आहे बरं का! पायथागोरस सिद्धांत हा भूमितीमधला एक सिद्धांत आहे, तर येथे आपण फक्त पूर्णांक क्ष, य आणि झ शोधतो आहोत. प्राचीन काळापासून न = २ साठी आपल्याला ते शोधण्याची कृती माहित आहे. परंतु न > २ साठी कुणालाच काही कल्पना नव्हती.

फर्मा ह्या गणितज्ञाने १७व्या शतकात असे विधान केले, की न च्या २ पेक्षा मोठ्या कुठल्याही किमतीसाठी असे क्ष, य आणि झ असू शकत नाहीत. त्याने हे स्वतःच्या वहीमध्ये समासात लिहून ठेवले, आणि वर असेही म्हटले, की माझ्याकडे ह्याची फार सुंदर सिद्धता आहे, पण हा समास लहान असल्याने ती मी येथे देऊ शकत नाही.

त्याच्या मृत्यूनंतर गणितज्ञांना ही वही मिळाली. त्यांनी त्या वहीतले बाकी सिद्धांत पारखून घेतले, पण ह्याची सिद्धता कुणालाच देता आली नाही. म्हणून हा उरलेला 'Last Theorem'. ह्या प्रश्नावर बर्‍याच मोठ्यामोठ्या गणितज्ञांनी डोकेफोड केली. Number Theory (ह्याला चांगला प्रतिशब्द मला सुचत नाही. अंकगणित हा फक्त ह्याचा एक छोटा भाग आहे.) मधील बरेच संशोधन ह्या प्रश्नामुळे प्रेरित आहे. जवळपास सव्वातीनशे वर्षांनंतर १९९४ मध्ये अँड्र्यु वाईल्स (Andrew Wiles) ह्यांनी हा प्रश्न सोडवला. त्यांनी ह्या प्रश्नावर सलग ७ वर्षे एकट्याने काम केले. (खरे तर त्यांना नंतर त्यांच्या विद्यार्थ्याची मदत एके ठिकाणी लागली.) https://www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE ही एक उत्कृष्ट डॉक्युमेंटरी आहे ह्यावर. (त्यात गणितातल्या सिद्धता इ. गोष्टींबद्दलसुद्धा अत्यंत उत्कृष्ट विवेचन केलेले आहे.) त्यांचे ह्यावरचे काम जाणून घेणे हा माझा सध्याच्या कामातला एक भाग आहे.

जर तुम्ही वरील दुवे वाचले किंवा डॉक्युमेंटरी पाहिली, तर कदाचित तुम्हाला गणित ही एक कला आहे या माझ्या म्हणण्याचे फारसे आश्चर्य वाटणार नाही. किंवा कदाचित वाटेलही. गणितातील तर्कशुद्धपणामुळे हा विषय बहुतांशी फार शास्त्राच्या जवळ जाणारा वाटतो. (रुक्ष सुद्धा वाटतो.) गणित ही विज्ञानाची राणी आहे की नाही यावर काही जणांनी वादविवाद सुद्धा केले असतील. आणि आपण शाळांमध्ये किंवा महाविद्यालयांत त्याचा जो वापर बघतो (भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, इ.) त्यामुळेही ही भावना दृढ होत जाते. परंतु मला येथे रामानुजनचा मार्गदर्शक, G. H. Hardy, (तो स्वतःही उत्कृष्ट गणितज्ञ होता.) ह्याचे शब्द उद्धृत करावेसे वाटतात - A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. ... His patterns are made with ideas. ... The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. (हे वाक्य त्याच्या 'A Mathematician's Apology' ह्या प्रसिद्ध निबंधातील आहे. http://www.math.ualberta.ca/mss/misc/A%20Mathematician%27s%20Apology.pdf येथे तो पाहायला मिळेल. १० व्या भागात तो गणितकलेविषयी लिहितो. तो प्रचंड egotist होता. त्यामुळे Take it with a pinch of salt.) जेव्हा मी 'गुरू' लोकांना गणितावर व्याख्यान देताना पाहतो, किंवा त्यांचं काम अभ्यासतो, तेव्हा माझ्या लक्षात येते की अरेवा! छान! अशी दाद, जी मी बालगंधर्वांना ऐकताना देत असतो, किंवा पिकासोची चित्रं बघताना मला जी अनुभूती येते; तीच दाद मी ह्यांना देत असतो, तीच अनुभुती मला येत असते. कुठेतरी एखादी क्लृप्ती वापरून अडथळा पार केलेला दिसला, की आश्चर्यमिश्रित कौतुकाने मन भरून जाते. (गाण्यातल्या हरकतीसारखे.) त्यांनी निर्माण केलेल्या व्याख्यांची व्याप्ती, त्यांचा अर्थ समजू लागला की त्या कलाकाराची सृष्टी डोळ्यासमोर उभी राहून अचंबित व्हायला होते. गणितज्ञ हा अशी त्याची सृष्टी स्वतःच्या मनातच उभी करतो. तोही कवीसारखाच निर्माता आहे. गणिताचा वापर हा विविध ठिकाणी होतो हे खरे; पण त्या वापराचा आणि गणिताच्या मूळ स्वरूपाचा संबंध नाही असे माझे मत आहे. (ह्या बाबतीत Hardy च्या निबंधातला ११ वा भाग वाचण्यासारखा आहे.)

गणिताविषयी एवढे ऐकल्यावर 'तुम्ही हाच विषय का निवडला?', 'तुम्ही गणितात काय करता?', ह्याहून पुढे जाऊन 'आम्ही गणित कशाला शिकायचे?' असे अनेक प्रश्न विचारले जाउ शकतात. त्या सर्वांची उत्तरे इतर लेखांत जशी जमेल तशी देण्याचा प्रयत्न मी करेन. सध्यातरी गणिताविषयी इत्यलम्.

ताजा कलम - सध्या (२४.०४.२०१३) शकुंतलादेवींबद्दल बरीच चर्चा चालू आहे. ह्या निमित्ताने मनात असलेला व एका मित्राने इंटरनेटवर कुठेतरी मांडलेला विचार येथे द्यावासा वाटतो. (विस्ताराने नंतर कधीतरी यावर लिहीन.)

आपण शाळेत चौथी-पाचवीमध्ये शिकतो, त्या वेळेस बरेच गणित म्हणजे आकडेमोड असते. पाढे पाठ करणे, लसावि मसावि शोधणे, वर्ग-वर्गमूळ इत्यादी. हे शिकलेल्या एखाद्या लहान मुलाला वाटेल की पुढे जाऊन आपल्याला जास्तीत जास्त वेगात आकडेमोड कशी करावी हे शिकवले जाईल. परंतु तसे नाही. आठवी-दहावी मधील (सध्या बीजगणिताबद्दल बोलू कारण ते आकडेमोडीच्या उदाहरणाला जास्त जवळचे आहे.) बीजगणित हे आपल्याला अमूर्त चले, बहुपदी, समीकरणे अशा गोष्टींशी ओळख करून देते. कधीकधी त्यांची किंमत ओळखणे हाही प्रकार असतो, पण अनेकदा त्यांच्या किंमतीशी फार संबंध न ठेवता तुम्हाला त्यांच्या नियमांनुसार त्यांच्याशी खेळता येते की नाही हे बघणे अभिप्रेत असते. हेच अकरावी-बारावी पर्यंत चालू असते. संख्यांनी बनलेल्या परंतु बर्‍याच वेगळ्या असलेल्या systems (उदा. मॅट्रायसेस) आपल्याला पाहावयास मिळतात. त्यांची तोंडओळख ही पुढे भौतिकशास्त्र इत्यादी अनेक क्षेत्रांत उपयोगास येते. Thus we add a layer of abstraction as we progress within school.

ज्यांनी येथपर्यंत बीजगणित पाहिलेले असेल त्यांना कदाचित असे वाटेल, की ह्याहून उच्च बीजगणितात बहुधा यापेक्षा गुंतागुंतीची, जास्त घाताची (exponent) समीकरणे सोडवली जात असावीत. परंतु हेही खरे नाही. एका मर्यादेपर्यंत असा प्रयत्न केला जातो, पण गंमत म्हणजे असेही काही सिद्धांत आहेत, की ते काही समीकरणे सोडवणे अशक्य कसे आहे हेच सांगतात! उच्च बीजगणितात खरे तर we keep adding layers of abstraction आणि ह्या समीकरणांच्या अनुषंगाने त्यांच्याशी संबंधित अशा नवीनच अमूर्त objects ची कल्पना करून ह्या objects चे परस्परांत संबंध कसे आहेत, त्या objects ची रचना कशी आहे हे पाहण्याचा प्रयत्न करतो. (अशा objects ची कल्पना स्वतःहून करणे सोपे नाही. खरे तर तीच एक कला आहे.)

अर्थात हे सगळे शब्दश: असेच आहे असे नाही, पण गणिताकडे पाहण्याची दृष्टी म्हणून थोडाफार उपयोग होऊ शकतो.

Group content visibility: 
Public - accessible to all site users

छान Happy

जेव्हा मी 'गुरू' लोकांना गणितावर व्याख्यान देताना पाहतो, किंवा त्यांचं काम अभ्यासतो, तेव्हा माझ्या लक्षात येते की अरेवा! छान! अशी दाद, जी मी बालगंधर्वांना ऐकताना देत असतो, किंवा पिकासोची चित्रं बघताना मला जी अनुभूती येते; तीच दाद मी ह्यांना देत असतो, तीच अनुभुती मला येत असते.
हे वाक्य वाचल्यावर खरोखरच माझे मन आश्चर्यमिश्रित कौतुकाने भरून आले आहे. Happy
पुढील सविस्तार लिखाणाच्या प्रतिक्षेत!

अतिशय सुंदर लेख आणि दुवे. मला ती फिल्म फारच आवडली.

We are often told that Science is not personal. Scientists should be able to detach from their hypothesis to be able to see the flaws. They should be able to take criticism.
But when you spend seven years in isolation solving one problem (and you can call that a "beautiful" problem), how can it not be personal? How can it now make you feel overcome with emotion?

I truly appreciated the link. Thanks a lot.

तुमच्या पुढील लेखांच्या प्रतीक्षेत.

भास्कराचार्य,

किती वेळ वाट पहिली आपल्या लेखाची. सवडीने सविस्तर वाचेन. अस्मादिकांची इच्छा पूर्ण केल्याबद्दल आभार! Happy

आ.न.,
-गा.पै.

पुढील लेखांच्या प्रतीक्षेमधे.

गणित विषय माझ्या नावडीचा!! पण वरील लेख खूप छान झालाय.

धन्यवाद सगळ्यांना. Happy

how can it not be personal? How can it now make you feel overcome with emotion? >>

अगदी खरं, सई. Happy सुरवातीच्या प्रसंगात तो रडायला लागतो सांगताना, तो माझा driving force होतो कधीकधी. थोडंसं अजून म्हणायचं झालं, तर अनेक धुरंधर लोक वय किंवा प्रकृतीची पर्वा न करता व्याख्यानाला येऊन बसतात, तेव्हाही याची जाणीव होते. त्यांच्या नावाने गणितातल्या अनेक objects ची नावे आहेत. अशा लोकांना खरे तर काहीही करायची लौकिकार्थाने गरज नसते, पण ते खरे तर सत्यशोधनाच्या मोहिमेवर निघालेले यात्रिक आहेत. (अर्थात ह्याचा फक्त गणिताशी संबंध आहे असे नाही. सर्वच विज्ञानाबद्दल हे खरे आहे.) मी या quest for truth बद्दल फार लिहिलेले नाही.

ह्याच अनुषंगाने थोडेसे संशोधनाबद्दल म्हणावेसे वाटते, की it's a personal crusade. मला कितीतरी वेळा जाणवते, की माझी स्पर्धा इथे स्वतःशीच आहे. माझ्यातल्याच आळशीपणाला ओलांडून पुढे जाण्यासाठी मी झगडतोय. माझाच मेंदू अजून जोरात चालावा, नवनवीन दृश्ये बघायचे सामर्थ्य त्यात यावे अशी माझी धडपड चालू आहे. हा 'आपुलाचि वाद आपणासी' ही एक फार सुंदर स्थिती आहे. Happy

आणि अजून एक म्हणजे, फर्माच्या शेवटच्या सिद्धांताबद्दल बहुधा लोकांना माहिती असावी, परंतु मला ती डॉक्युमेंटरी दाखवायची होती, म्हणून ते उदाहरण निवडले. पुढे दुसर्‍या अशा प्रश्नांबद्दल बोलेन.

>>मला कितीतरी वेळा जाणवते, की माझी स्पर्धा इथे स्वतःशीच आहे. माझ्यातल्याच आळशीपणाला ओलांडून पुढे जाण्यासाठी मी झगडतोय. माझाच मेंदू अजून जोरात चालावा, नवनवीन दृश्ये बघायचे सामर्थ्य त्यात यावे अशी माझी धडपड चालू आहे.

हे अगदी पटलं.

गणिताचा अभ्यास आणि आत्मशोध यांचा जवळचा संबंध आहे असं बऱ्याच मोठ्या शास्त्रज्ञां बद्दल वाचून वाटतं. म्हणजे सगळच संशोधन तसं असतं, पण गणिताचं अधिक वाटतं.
http://www.huffingtonpost.com/max-tegmark/angry-atheists_b_2716134.html

हा लेख काही दिवसांपूर्वी हफपोस्टमध्ये आला होता. त्यात शेवटी एक स्लाईड शो आहे. त्यात मोठ्या मोठ्या शास्त्रज्ञांचं देवाबद्दल काय म्हणणं आहे हे लिहिलं आहे. त्यात आईन्स्टाइनचं वाक्य या बाबतीत फार बोलकं आहे.

"Everyone who is seriously involved in the pursuit of science becomes convinced that a spirit is manifest in the laws of the universe - a spirit vastly superior to that of man, and one in the face of which we with our modest powers must feel humble. In this way the pursuit of science leads to a religious feeling of a special sort, which is indeed quite different from the religiosity of someone more naive."

सई केसकर,

तुम्ही दिलेल्या दुव्याबद्दल प्रचंड धन्यवाद! Happy

१.
>> गणिताचा अभ्यास आणि आत्मशोध यांचा जवळचा संबंध आहे असं बऱ्याच मोठ्या शास्त्रज्ञां बद्दल
>> वाचून वाटतं. म्हणजे सगळच संशोधन तसं असतं, पण गणिताचं अधिक वाटतं.

याचं कारण म्हणजे एखादी गणिती संकल्पना (विशेषत: अमूर्त गणिती) इतर गणिती शाखांशी कशा प्रकारे संबंधित आहेत यावर सखोल चिंतन करावं लागतं. जेव्हढे जास्त संबंध तितकी ती संकल्पना उच्च दर्जाची समजली जाते. (बरोबर ना भास्कराचार्य?) प्रतिभावान गणितज्ञ अनेक शक्यतांना जन्म देणारी जननक्षम संकल्पना मांडतात.

आत्मशोध घेणे म्हणजे आत्मतत्त्व कश्या प्रकारे जगाशी संबंधित आहे त्याचा वेध घेणे होय. हा वेध जितक्या विविध प्रकारे घेतला जातो तितका माणूस प्रगल्भ होत जातो.

साहजिकच गणिती वेध आणि आत्मवेध दोहोंत साम्य आढळून येणारंच! मात्र एक गोष्ट स्पष्टपणे सांगायला हवी की आत्मशोधाचं भारतात विकसित झालेलं शास्त्र (म्हणजे अध्यात्म) आणि गणित यांचे मूळ हेतू भिन्न आहेत.

मला जाणवलेलं ते भिन्नत्व थोडं स्पष्ट करतो.

२.
आपण दिलेलं आईन्स्टाइनचं वाक्य परत उधृत करतो :

>> "Everyone who is seriously involved in the pursuit of science becomes convinced that
>> a spirit is manifest in the laws of the universe - a spirit vastly superior to that of man, and
>> one in the face of which we with our modest powers must feel humble. In this way the
>> pursuit of science leads to a religious feeling of a special sort, which is indeed quite
>> different from the religiosity of someone more naive."

शेवटलं वाक्य वगळता वरील विधानास माझं पूर्ण अनुमोदन आहे. पारंपारिक भारतीय विचारानुसार 'एको सत् विप्रा: बहुधा वदन्ति'. त्यामुळे कोण्या बहुशिक्षित वैज्ञानिकाने घेतलेला वैज्ञानिक वेध आणि भोळ्याभाबड्या माणसाची ईश्वरावरील श्रद्धा गुणात्मक रीत्या सारख्याच आहेत. तिथे उच्चनीच या भेदभावास स्थान नाही. भले भोळी श्रद्धा बाळगणारे चुकत असतील, पण तरीही त्यांच्या भावास (वरील विधानातला feeling हा शब्द त्यास) वेगळे लेखणे अयोग्य आहे.

याचं साधं-सोपं-सरळ कारण म्हणजे वरील वाक्यातले spirit आहे त्याच्या शक्ती (powers) पाहून माणूस humble होतो (मूळ इंग्रजी शब्द मुद्दाम तसेच ठेवले आहेत). हे शक्तिशाली spirit बुद्धिमान वैज्ञानिकाला झुलवत ठेवून भोळ्याभाबड्या माणसाला अनुभूती देऊ शकते. म्हणूनच श्रद्धांची तुलना करू नये आणि 'एको सत् विप्रा: बहुधा वदन्ति' याची कास धरावी. Happy

३.
विज्ञान आणि धर्म यांच्या परस्परसंबंधांवर छानसं स्फुट लिहायचं होतं. म्हणून तुम्ही दिलेल्या दुव्यावरची सरकपट्टी (स्लाईड शो) बघत होतो. विलियम ब्रॅगचं एक विधान सापडलं. ते इतकं सुरेख आहे की दुसरं काही लिहावंसं वाटंतच नाही. त्याच्याच शब्दात :

>> "From religion comes a man's purpose; from science, his power to achieve it. Sometimes
>> people ask if religion and science are not opposed to one another. They are: in the sense
>> that the thumb and fingers of my hands are opposed to one another. It is an opposition by
>> means of which anything can be grasped."
>>
>> -William H. Bragg (1862-1942), British physicist, chemist, and mathematician.
>> Awarded Nobel Prize in 1915

४.
त्याच दुव्यावर पुढे सॅम हॅरिसने नास्तिकवादाची लक्तरेच काढली आहेत. त्याच्याच शब्दांत :

>> "Atheism is not a philosophy; it is not even a view of the world; it is simply a refusal
>> to deny the obvious."
>>
>> -Sam Harris (1967-), American neuroscientist

असो.

आपल्या दुव्याबद्दल परत एकदा धन्यवाद! Happy

भास्कराचार्य, तुमच्या लेखामुळे ही विचारप्रक्रिया जागृत झाली. म्हणून तुम्हालाही शेकडो धन्यवाद! Happy

आ.न.,
-गा.पै.

सगळ्यांचे धन्यवाद! Happy

सई यांनी जे म्हटलंय, (गणिताचा अभ्यास आणि आत्मशोध याबद्दल) त्याबद्दल मी थोड्याफार प्रमाणात सहमत असेन. बरेच गणितज्ञ दृश्य जगात कमी आणि स्वतःच्या मनात जास्त असतात त्यामुळे ते असेल असे माझे मत. बाकी मी पराभौतिक विचार सध्या फार करत नसल्याने माझे गामा पैलवान यांच्या मतांबद्दल फार विचार नाहीत. सध्या तरी मी गणिताविषयी फार विचार न करता गणितामध्ये जास्तीत जास्त विचार करण्याच्या मागे आहे असे म्हणू. Happy परंतु आईनस्टाईनच्या विचाराबद्दल माझा आधीपासूनचा विचार असा आहे, की देवाकडे काहीतरी सतत मागणार्‍या माणसाच्या श्रद्धेपेक्षा नुसतीच त्या कुठल्यातरी शक्तीपुढे (ज्याला नुसताच 'निसर्ग' सुद्धा म्हणता येईल) नतमस्तक होणारी भावना 'वेगळी' असे त्याला म्हणायचे असावे. (त्याने 'उच्चनीच' असे म्हटले आहे असे मला वाटत नाही. मूळ विधानात 'different' असे आहे.)

भास्कराचार्य
तुमचे मानावेत तितके आभार थोडे आहेत. गणित हा माझ्यासाठी क्लिष्ट विषय आहे. पण तुम्ही खूपच ओघवत्या शैलीत लिहीलंय. माझ्यासारख्या ठोकळ्यालाही आवडेल अशी भाषा आहे.

अतिषय सुंदर लेख !

गणितात पी.एच.डी करताय _____/\_____ मला तुमचा हेवा( एन्व्ही) वाटतो Happy

बाकी तुम्ही नक्की कोणत्या विषयात पी एचडी करत आहात ? अल्जेब्रा ? फिल्ड थेरी ?
एनीवे सर्वच मॅथेमॅटीक्स खुप इन्टरेस्टींग आहे ...नंबर थेरी , ग्राफ थ्रेरी अ‍ॅनालिसीस हे तर विशेषत्वाने .

पण गणित (आणि बुध्दीबळ ) ह्या दोन गोष्टी अशा आहेत की ज्याला कळत/जमत नाहीत तो कधीच अ‍ॅप्रीशियेट करु शकणार नाही ! बाकी गणितातले संदर्य एकदा कळायला लागले की काय मजा येते राव !!
(आजही स्केयररुट(२) हा इर्रॅशनल आहे ह्याचे प्रूफ किंव्वा प्राईम नंबर इन्फायनाईट आहेत ह्याचे प्रूफ किंव्वा हे प्रूफ http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_... आठवुन परत गणितात पीएचडी करायला जावे गेलोच तर कॉम्प्लेस अ‍ॅनालिसिस मधे काही तरी करावे असे वाटत राहते ...असो आम्ही संख्याशास्त्रावर स्थिरावलो ...पापी पेट के लिये करना पडता है Sad :फिदी:)

ह्यावरुन माझ्या गझलेतील हाशेर ...सॉरी सॉरी ...माझ्या एका लेखातील हा डायलॉग येथे उधृत करतो

Mathematics is like Girl friend , she is damn beautiful hot sexy ... bitchy ... but i never understood her completly ... it never worked out ...
Statistics is like wife ... she is good ...easy to understand , although she is not as beautiful as girlfriend , she makes life beautiful .
And Finally ,now ,
Philosophy is an extra marital affair ...unnesessary ... redundents ...neusaince ,,,meaningless ... and probably harmful ...But its thrill !!

सहमत. डायलॉग आवडला. (आणि शालजोडीतला सुद्धा!) मी नंबर थिअरी मध्ये आहे. कॉम्प्लेक्स अ‍ॅनालिसीस बद्दल माझ्याही भावना अशाच आहेत. माझ्या कामातही अ‍ॅनालिटीक भाग आहेच. नंबर थिअरी मध्ये सगळंच करता येतं म्हणून तो विषय घेतला असेही म्हणू शकतो. तेवढंच जरा आपल्याला सगळं येतं असं लोकांना वाटेल. Wink

झकास भास्कराचार्य .१.ओईलर(युलर ?) बद्दलही लिहा .२तत्वज्ञान ,धर्म आणि गणित यांचा फारच गुंता होऊन सामान्य आणि शास्त्रज्ञ दोघेही गुरफटतात .३.सरळ रेषा आणखी सरळ होईल का ?आईनस्टाईनचा सिध्दांत आणखी सोपा होईल का ?भगव्द्गीता आणखी लहान होईल का ? याच्या शोधात असणाऱ्यांपैकी एक .

विविध गणितज्ञांबद्दल लिहायचाही विचार आहे, परंतु त्यासाठी खूप जास्त वेळ हवा जो सध्या माझ्याकडे नाही. येत्या एखाद्या महिन्यात कदाचित ...

रच्याकने, वरच्या डायलॉगवरून आठवले. इथे विबासं वर बरेच तज्ञ आहेत असे ऐकून आहे. ते लोक काय म्हणतील बरे याविषयी? Light 1

गणिताचा सर्वात मोठा दृष्य परिणाम कम्प्युटर आणि अवकाश संबंधि ज्ञान . पूर्वीपासून मनुष्यास भविष्य जाणून घेण्याची आवड होती .त्यासाठी हवे होते ग्रह ताऱ्यांचे अचूक ज्ञान .त्यासाठी गणिताचा अभ्यास झाला . जयपूरच्या राजा मानसिंग याने पाच वेधशाळा बांधून घेतल्या आणि चांगला पुरावा करून ठेवला .त्याने अरबि भाषेतील पुस्तकाचेही भाषांतर करवून घेतले . लिलावती ,सूर्यसिध्दांत हे ग्रंथ( हस्तलिखितप्रत)कुठे आहेत ?

मला कितीतरी वेळा जाणवते, की माझी स्पर्धा इथे स्वतःशीच आहे. माझ्यातल्याच आळशीपणाला ओलांडून पुढे जाण्यासाठी मी झगडतोय. माझाच मेंदू अजून जोरात चालावा, नवनवीन दृश्ये बघायचे सामर्थ्य त्यात यावे अशी माझी धडपड चालू आहे. >>>

अगदी खरे आहे एक साधा algebra मधला प्रोजेक्ट करताना ह्य अश्याच भावना आहेत माझ्या सध्या !!

मी नंबर थिअरी मध्ये आहे >> आपण कोणत्या institute मधे काम करत आहात?
नंबर थिअरी अन अल्जेब्रा मला कायमच आवडतात अजुन फक्त ओलखच होते आहे अन यातच काही करायचे आहे! lets see

लेख आवडला,

आपण वापरत असलेला क्ष य इ ऐवजी इंग्रजी अक्षरे वापरली तर बरे होईल नाहीतरी आपण इ ५ वी नंतर तीच वापरली आहेत.

मला इंजिनिअरिंगला मॅथ-३ चा पेपर ३ वेळा द्यावा लागला होता त्यामुळे तसा मॅथ थेरी मध्ये फारसा रस नाही पण अ‍ॅप्लाईड मॅथेमॅटीक्सबाबत नेहमीच कुतूहल राहिले आहे.

Pages