अमूर्त गणिताबद्दल थोडेसे

ह्या ग्रूपचे नाव 'संशोधन पूर्ण झालेले मायबोलीकर' असे नसून 'संशोधनक्षेत्रातील मायबोलीकर' असे आहे. त्यामुळेच येथे लिहिण्याची जुर्रत करतो. {ग्रूप निर्मात्याचे/ निर्मातीचे आभार मानून. } मी अमूर्त गणितात सध्या पीएचडी करत आहे. आज जरा गणिताविषयी लिहीन. पुढे कधीतरी मी स्वतः काय करतो याबद्दल माहिती देईन.

टीप : येथून पुढे मी 'अमूर्त गणित' आणि 'गणित' हे शब्द बहुतांशी समान अर्थाने वापरेन.

गणित म्हणजे काय?

यासंदर्भात माझे आवडते एक वाक्य देतो. 'To think deeply of simple things.' गणिताचा राजकुमार म्हणून गौरविल्या गेलेल्या कार्ल फ्रेडरिक गॉस (http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss) ह्याच्या विचारांमधून घेतलेले हे वाक्य. साध्या गोष्टींचा खोलवर विचार करणे. ह्या अनुषंगाने एक गोष्ट अशी लक्षात येते, की साध्या गोष्टी ह्या सोप्या नसतात. (Simple is not easy.) साध्या गोष्टी ह्या साध्या का आहेत, हे जाणून घेण्यातच गणितज्ञांचा बराच वेळ खर्ची पडतो असे मला वाटते.

ह्याचं सर्वात झगझगीत उदाहरण म्हणजे नैसर्गिक संख्या. (Natural Numbers.) प्रत्येकजण लहानपणीच मोजायला शिकतो. पण नैसर्गिक संख्या म्हणजे नक्की काय किंवा नैसर्गिक संख्येची व्याख्या काय हा प्रश्न तसा महत्वाचा आहे. ह्याचं समाधानकारक उत्तर देण्याचा प्रयत्न बर्‍याच जणांनी केलेला आहे. बर्ट्रांड रसेल सारख्या विचारवंताला ह्यात अडथळे आलेले आहेत. (पहा - http://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers...) 'गोडेलचा अपूर्णत्वाचा सिद्धांत' ( पहा - http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems) हा तर्कशास्त्रातला महत्वाचा सिद्धांत येथे लागू होतो असे दिसते. आजकालचा प्रत्येक गणितज्ञ याविषयी फार विचार करणार नाही. पण गणिताच्या अमूर्त असण्याची चुणूक अशी दिसून जाते. आपण ज्या गोष्टी अगदी सहज वापरून जातो त्या वापरता सहज येतात, पण त्यांच्याविषयी माहिती मिळवणे फार कठीण असू शकते, हा सारांश.

हा प्रश्न बराच पराभौतिकीय (metaphysical) किंवा तात्विक वाटू शकतो आणि तो तसा आहेसुद्धा. गणितात काम करणारा प्रत्येक माणूस ह्या अशा प्रश्नांवर काम करत नाही. संख्या म्हणजे काय ह्यावर फारसा विचार न करता त्यांच्या वेगवेगळ्या गुणधर्मांवर काम करता येऊ शकते. अशा प्रश्नाचे एक उदाहरण म्हणजे विख्यात 'फर्माचा शेवटचा सिद्धांत'. (Fermat's Last Theorem.)

क्ष^न + य^न = झ^न .... (१)

हे एक समीकरण आहे ज्यात न ही २ पेक्षा मोठी एक नैसर्गिक संख्या आहे. आपल्याला अशा नैसर्गिक संख्या क्ष, य आणि झ शोधायच्या आहेत, ज्या ह्या समीकरणात बसतील आणि त्या तिघांपैकी कोणतीही ० नसेल. (नाहीतर क्ष, य = ० आणि झ = क्ष हे उत्तर सरळसरळ दिसते.)

जर न = २ असेल, तर हे समीकरण आपणा सर्वांनाच ज्ञात असेल.

क्ष^२ + य^२= झ^२ .... (२) (पायथागोरस समीकरण.)

हे पायथागोरस सिद्धांतापेक्षा वेगळे आहे बरं का! पायथागोरस सिद्धांत हा भूमितीमधला एक सिद्धांत आहे, तर येथे आपण फक्त पूर्णांक क्ष, य आणि झ शोधतो आहोत. प्राचीन काळापासून न = २ साठी आपल्याला ते शोधण्याची कृती माहित आहे. परंतु न > २ साठी कुणालाच काही कल्पना नव्हती.

फर्मा ह्या गणितज्ञाने १७व्या शतकात असे विधान केले, की न च्या २ पेक्षा मोठ्या कुठल्याही किमतीसाठी असे क्ष, य आणि झ असू शकत नाहीत. त्याने हे स्वतःच्या वहीमध्ये समासात लिहून ठेवले, आणि वर असेही म्हटले, की माझ्याकडे ह्याची फार सुंदर सिद्धता आहे, पण हा समास लहान असल्याने ती मी येथे देऊ शकत नाही.

त्याच्या मृत्यूनंतर गणितज्ञांना ही वही मिळाली. त्यांनी त्या वहीतले बाकी सिद्धांत पारखून घेतले, पण ह्याची सिद्धता कुणालाच देता आली नाही. म्हणून हा उरलेला 'Last Theorem'. ह्या प्रश्नावर बर्‍याच मोठ्यामोठ्या गणितज्ञांनी डोकेफोड केली. Number Theory (ह्याला चांगला प्रतिशब्द मला सुचत नाही. अंकगणित हा फक्त ह्याचा एक छोटा भाग आहे.) मधील बरेच संशोधन ह्या प्रश्नामुळे प्रेरित आहे. जवळपास सव्वातीनशे वर्षांनंतर १९९४ मध्ये अँड्र्यु वाईल्स (Andrew Wiles) ह्यांनी हा प्रश्न सोडवला. त्यांनी ह्या प्रश्नावर सलग ७ वर्षे एकट्याने काम केले. (खरे तर त्यांना नंतर त्यांच्या विद्यार्थ्याची मदत एके ठिकाणी लागली.) https://www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE ही एक उत्कृष्ट डॉक्युमेंटरी आहे ह्यावर. (त्यात गणितातल्या सिद्धता इ. गोष्टींबद्दलसुद्धा अत्यंत उत्कृष्ट विवेचन केलेले आहे.) त्यांचे ह्यावरचे काम जाणून घेणे हा माझा सध्याच्या कामातला एक भाग आहे.

जर तुम्ही वरील दुवे वाचले किंवा डॉक्युमेंटरी पाहिली, तर कदाचित तुम्हाला गणित ही एक कला आहे या माझ्या म्हणण्याचे फारसे आश्चर्य वाटणार नाही. किंवा कदाचित वाटेलही. गणितातील तर्कशुद्धपणामुळे हा विषय बहुतांशी फार शास्त्राच्या जवळ जाणारा वाटतो. (रुक्ष सुद्धा वाटतो.) गणित ही विज्ञानाची राणी आहे की नाही यावर काही जणांनी वादविवाद सुद्धा केले असतील. आणि आपण शाळांमध्ये किंवा महाविद्यालयांत त्याचा जो वापर बघतो (भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, इ.) त्यामुळेही ही भावना दृढ होत जाते. परंतु मला येथे रामानुजनचा मार्गदर्शक, G. H. Hardy, (तो स्वतःही उत्कृष्ट गणितज्ञ होता.) ह्याचे शब्द उद्धृत करावेसे वाटतात - A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. ... His patterns are made with ideas. ... The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. (हे वाक्य त्याच्या 'A Mathematician's Apology' ह्या प्रसिद्ध निबंधातील आहे. http://www.math.ualberta.ca/mss/misc/A%20Mathematician%27s%20Apology.pdf येथे तो पाहायला मिळेल. १० व्या भागात तो गणितकलेविषयी लिहितो. तो प्रचंड egotist होता. त्यामुळे Take it with a pinch of salt.) जेव्हा मी 'गुरू' लोकांना गणितावर व्याख्यान देताना पाहतो, किंवा त्यांचं काम अभ्यासतो, तेव्हा माझ्या लक्षात येते की अरेवा! छान! अशी दाद, जी मी बालगंधर्वांना ऐकताना देत असतो, किंवा पिकासोची चित्रं बघताना मला जी अनुभूती येते; तीच दाद मी ह्यांना देत असतो, तीच अनुभुती मला येत असते. कुठेतरी एखादी क्लृप्ती वापरून अडथळा पार केलेला दिसला, की आश्चर्यमिश्रित कौतुकाने मन भरून जाते. (गाण्यातल्या हरकतीसारखे.) त्यांनी निर्माण केलेल्या व्याख्यांची व्याप्ती, त्यांचा अर्थ समजू लागला की त्या कलाकाराची सृष्टी डोळ्यासमोर उभी राहून अचंबित व्हायला होते. गणितज्ञ हा अशी त्याची सृष्टी स्वतःच्या मनातच उभी करतो. तोही कवीसारखाच निर्माता आहे. गणिताचा वापर हा विविध ठिकाणी होतो हे खरे; पण त्या वापराचा आणि गणिताच्या मूळ स्वरूपाचा संबंध नाही असे माझे मत आहे. (ह्या बाबतीत Hardy च्या निबंधातला ११ वा भाग वाचण्यासारखा आहे.)

गणिताविषयी एवढे ऐकल्यावर 'तुम्ही हाच विषय का निवडला?', 'तुम्ही गणितात काय करता?', ह्याहून पुढे जाऊन 'आम्ही गणित कशाला शिकायचे?' असे अनेक प्रश्न विचारले जाउ शकतात. त्या सर्वांची उत्तरे इतर लेखांत जशी जमेल तशी देण्याचा प्रयत्न मी करेन. सध्यातरी गणिताविषयी इत्यलम्.

ताजा कलम - सध्या (२४.०४.२०१३) शकुंतलादेवींबद्दल बरीच चर्चा चालू आहे. ह्या निमित्ताने मनात असलेला व एका मित्राने इंटरनेटवर कुठेतरी मांडलेला विचार येथे द्यावासा वाटतो. (विस्ताराने नंतर कधीतरी यावर लिहीन.)

आपण शाळेत चौथी-पाचवीमध्ये शिकतो, त्या वेळेस बरेच गणित म्हणजे आकडेमोड असते. पाढे पाठ करणे, लसावि मसावि शोधणे, वर्ग-वर्गमूळ इत्यादी. हे शिकलेल्या एखाद्या लहान मुलाला वाटेल की पुढे जाऊन आपल्याला जास्तीत जास्त वेगात आकडेमोड कशी करावी हे शिकवले जाईल. परंतु तसे नाही. आठवी-दहावी मधील (सध्या बीजगणिताबद्दल बोलू कारण ते आकडेमोडीच्या उदाहरणाला जास्त जवळचे आहे.) बीजगणित हे आपल्याला अमूर्त चले, बहुपदी, समीकरणे अशा गोष्टींशी ओळख करून देते. कधीकधी त्यांची किंमत ओळखणे हाही प्रकार असतो, पण अनेकदा त्यांच्या किंमतीशी फार संबंध न ठेवता तुम्हाला त्यांच्या नियमांनुसार त्यांच्याशी खेळता येते की नाही हे बघणे अभिप्रेत असते. हेच अकरावी-बारावी पर्यंत चालू असते. संख्यांनी बनलेल्या परंतु बर्‍याच वेगळ्या असलेल्या systems (उदा. मॅट्रायसेस) आपल्याला पाहावयास मिळतात. त्यांची तोंडओळख ही पुढे भौतिकशास्त्र इत्यादी अनेक क्षेत्रांत उपयोगास येते. Thus we add a layer of abstraction as we progress within school.

ज्यांनी येथपर्यंत बीजगणित पाहिलेले असेल त्यांना कदाचित असे वाटेल, की ह्याहून उच्च बीजगणितात बहुधा यापेक्षा गुंतागुंतीची, जास्त घाताची (exponent) समीकरणे सोडवली जात असावीत. परंतु हेही खरे नाही. एका मर्यादेपर्यंत असा प्रयत्न केला जातो, पण गंमत म्हणजे असेही काही सिद्धांत आहेत, की ते काही समीकरणे सोडवणे अशक्य कसे आहे हेच सांगतात! उच्च बीजगणितात खरे तर we keep adding layers of abstraction आणि ह्या समीकरणांच्या अनुषंगाने त्यांच्याशी संबंधित अशा नवीनच अमूर्त objects ची कल्पना करून ह्या objects चे परस्परांत संबंध कसे आहेत, त्या objects ची रचना कशी आहे हे पाहण्याचा प्रयत्न करतो. (अशा objects ची कल्पना स्वतःहून करणे सोपे नाही. खरे तर तीच एक कला आहे.)

अर्थात हे सगळे शब्दश: असेच आहे असे नाही, पण गणिताकडे पाहण्याची दृष्टी म्हणून थोडाफार उपयोग होऊ शकतो.