१. नमनाला घडाभर
माझ्या डिप्लोमा व बीईचा विषय होता इलेक्ट्रॉनिक्स अँड टेलिकम्युनिकेशन्स. बीई करताना कळले की हे सशाचे बीळ खूप खोल आहे. मी अभ्यासत असलेल्या विषयात करण्यासारखं खूप आहे, पुढे शिकण्यासारखं खूप आहे. विदेशात शिक्षण घेता येऊ शकते. त्यासंदर्भात माहिती गोळा करायला सुरवात केली आणि जाणवले हे सगळं कदाचित आपल्या आवाक्याबाहेरचे आहे. आजपर्यंत सगळं आयुष्य मजेत कुठल्याही मोठ्या अपेक्षा स्वतःवर न लादता घालवलं आहे. पण हे करायचे असेल तर सगळा दृष्टिकोनच बदलायला हवा. जसे जसे ऍडमिशन प्रोसेस बद्दल वाचत गेलो तसे जाणवले की आतापर्यंतच्या माझ्या शैक्षणिक गुणवत्तेवर थोड्याफार नामांकित विदेशी विद्यापीठातूनही स्कॉलरशिपसकट प्रवेश मिळणे अवघड आहे. आणि जिथे प्रवेश मिळेल त्या विद्यापीठातील डिग्रीने काही फायदा होईल का? काही शिकायला मिळेल का? सगळ्या दृष्टीने खूप विचार केला. नंतर वाटले काय होईल? फारतर जिथून सुरवात करतोय तिथेच परत येईन. जास्त नुकसान होईल असे काहीच नाही पण जर झाला तर फायदाच होईल. नवीन देश, नवीन अनुभव मिळेल. खरंच काय हरकत आहे? गाजराची पुंगी वाजली तर वाजली नाहीतर... म्हणून इलेक्ट्रिकल इंजिनीअरिंगच्या मास्टर्ससाठी ऍप्लिकेशन पाठवली. ज्यांनी होकार कळवले त्यातल्या कुणीही स्कॉलरशिप दिली नाही, तशी अपेक्षाही नव्हती. त्यातल्या त्यात एक चांगले विद्यापीठ निवडले आणि काठी नि घोंगडं घेऊन निघालो.
भारतातून येणारे इतर अनेक विद्यार्थी जसा जुगाड करतात तसाच मीही केला होता. खिशात एका सत्राची ट्युशन व दोनेक महिन्यांचा रोजचा खर्च इतकेच बरोबर होते. ह्या युनिव्हर्सिटीत मास्टर्सकरता कमीतकमी दोन वर्षे तरी लागणार होती. पुढचा जुगाड युनिव्हर्सिटीत येऊन करायचा होता. स्कॉलरशिप किंवा ट्युशन वेव्हर हा तो जुगाड. हे नसत जमलं तर गाशा गुंडाळून परत. इतका साधा हिशेब होता. [समयोचित गाणं]
मास्टर्सच्या पहिल्याच कोर्समध्ये कळले जितके शिकले ते पुन्हा नव्याने नव्या दृष्टीने शिकावे लागणार. अमेरिकन शिक्षण पद्धती हा आपल्या प्राचीन गुरुकुलांच्या जवळ जाणारा प्रकार आहे. सगळ्यात जास्त भावले ते विद्या मिळवताना स्वच्छंद बागडण्याचे स्वातंत्र्य! ईलेक्ट्रिकल शिकताना गाणं शिकायचं? समाजशास्त्र शिकायचं? भाषा शिकायच्यात? की अजून काही वेगळं? सगळ्याला इथे मुभा होती. नुसतंच शिकायचं पण त्या बद्दल मार्क्स नकोत? जरूर तीपण सोय होती! तुमचा वेळ आणि बजेट ह्याच गणित जमवा आणि काय वाटेल ते शिका.. शिकणं म्हणजे समृद्ध होणं हे इथे समजले आणि ह्या मोकळिकीचा फायदा घ्यायचाच असं ठरवलं.
गणित हा आवडीचा विषय होता पण त्याकडे इलेक्ट्रॉनिक्स शिकताना दुर्लक्ष झालं होतं, इतकं, की केट्या बसल्या होत्या. गणिताच्या डिपार्टमेंट हेडला जाऊन भेटलो. माझी बॅकग्राऊंड सांगितली व म्हटले ’मला गणितात व इलेक्ट्रिकल ह्या दोन्ही विषयात शिकायचे आहे काय करू?’ त्याने सांगितले तुझे गणितातले बेसिक ज्ञान किती हे मला कळण्यासाठी काही कोर्सेस पूर्ण कर. त्यात समाधानकारक काम केलेस तर ह्या दोन्ही विषयात एकत्रित मास्टर्स (डबल मेजर) करण्याची मी परवानगी देतो व त्याचबरोबर स्कॉलरशिपही! गणितात काम केलेली ती दोन/तीन वर्ष आतापर्यंतची सगळ्यात गोजिरवाणी वर्षे आहेत. पुढे एकत्रित मास्टर्स न करता गणितात संशोधनाचा अनुभव घेण्याच्या उद्देशाने स्वतंत्र मास्टर्स पूर्ण केली. गणितात माझा अभ्यासाचा विषय होता ग्राफ थिअरी आणि कोंबिनेटोरिक्स. तर इलेक्ट्रिकलमध्ये माझा विषय होता व्ही एल एस आय, डिझाइन फॉर टेस्ट .
जाताजाता १.१ : इलेक्ट्रिकल इंजिनीअरिंग हि इंजिनीअरिंगची नवी शाखा पहिल्यांदा १९व्या शतकाच्या अखेरीस उदयाला आली. Darmstadt University of Technology आणि Cornell university ह्यांनी ह्या विषयात शिक्षण देणारे कोर्सेस सुरू केले तर University of Missouri ने पहिल्यांदा ह्या विषयाचा विभाग सुरू केला [२]. ह्या विषयात प्रामुख्याने इलेक्ट्रिसिटी, इलेक्ट्रॉनिक्स आणि इलेक्ट्रोमॅग्नेटिझम चा अभ्यास व उपयोग ह्यांचा अंतर्भाव होतो. विसाव्या शतकात ह्या शाखेची झपाट्याने प्रगती होता गेली. आज ह्या विषयात अनेक उपशाखांचा जसे की पॉवर इलेक्ट्रॉनिक्स, टेलिकम्युनिकेशन, इंस्ट्रुमेन्टेशन इ. समावेश होतो.
२. एक तरी ओवी अनुभवावी
एखाद्या गोष्टीची नुसती माहिती असणे म्हणजे ज्ञान नव्हे. तर ती गोष्ट व तिचा अवकाश ह्यांचे परस्पर संबंध. त्या अवकाशातील इतर गोष्टींबरोबरचे तिचे नातेसंबंध. त्या गोष्टीचे स्वतःचे गुणधर्म ते गुणधर्म तशी होण्याची कारणे. अशा व इतर अनेक त्या गोष्टी संदर्भातील मिती जेव्हा आपली बुद्धी एकाचवेळी तोलू शकते व अंतर्मनाने एकत्रित आकलन करू शकते तेव्हा माहितीचे ज्ञानात रुपांतर होते. 'एक तरी ओवी अनुभवावी' ह्यातील अनुभव म्हणजे हे माहितीचे ज्ञानात होणारे रुपांतर. थोड्या लोकांना एखादी गोष्ट अशी पूर्णत्वाने कळते. इतरवेळेस त्या गोष्टीची एखादी मिती समजून घेण्यातच आयुष्य जाते. असे एक एक करत मिती उलगडत जाणे म्हणजेच तर संशोधन. चार आंधळे नुसत्या स्पर्शाने जसे हत्ती अनुभवतात तसेच काहीसे.
ज्या विषयात मी काम केले व करत आहे त्यांच्याविषयी थोडेसे.
ग्राफ थेअरी हि शाखा ग्राफ्सचा अभ्यास करते. ग्राफ म्हणजे अनेक वस्तूंमधील परस्पर संबंधांचे निर्देशन करणारी गणितीक प्रतिकृती असते. म्हणजे उदा. जमलेल्या माणसात कोण कोणाशी नात्याने जोडलेले आहे हे दाखवायचे असेल तर प्रत्येक माणूस एक बिंदू असे गृहीत धरायचे व जी माणसे नात्याने जोडली असतील त्यांचे बिंदू हे ग्राफमध्ये रेषेने एकत्र जोडायचे. बिंदू व रेषा ह्यांचे संबंध ह्यावरून ग्राफ्सचे गुणधर्म ठरतात [पीजे १] व ते प्रत्यक्ष आयुष्यात वापरता येतात. एक प्रत्यक्ष आयुष्यातले उदाहरण द्यायचे झाले तर समजा एका ठिकाणाहून दुसऱ्या ठिकाणी पोहचायचे आहे आणि जायचे अनेक मार्ग आहेत (मधली अनेक ठिकाणे) तर त्यातला सर्वात जवळचा रस्ता कुठला? (शॉर्टेस्ट पाथ प्रॉब्लेम) ह्याचे उत्तर शोधण्यासाठी, पहिल्यांदा, दिलेली ठिकाणे हि ग्राफ मधील बिंदू धरून त्यातील अंतरे हि ह्या ग्राफ मधील रेषा समजाव्यात. असा ग्राफ बनवल्यावर त्यावरून दोन ठिकाणातील जवळचा रस्ता शोधता येतो. ह्याचाच उपयोग मॅपक्वेस्ट किंवा गूगल मॅप्स जवळचा रस्ता दाखवण्यासाठी करतात.
कोम्बिनेटोरिक्स हे संख्येने मर्यादित वस्तू कशा मोजायच्या ह्याचा अभ्यास करते. अशा मोजणीचे एक उदाहरण द्यायचे झाले तर एका टेबला भोवती 'क्ष' लोक किती वेगवेगळ्या प्रकारे बसू शकतात (म्हणजे टेबलाच्या आजूबाजूला कोण कुठे बसेल ह्या अर्थी. पाय वरती करून डोके टेबलावर ठेवून अशा अर्थी वेगवेगळ्या प्रकारे नाही). ग्राफ थेअरी व कोंबिनेटोरिक्सबद्दल जरा अधिक [३] व [४] इथे वाचू शकाल.
जाताजाता २.१: Leonhard Euler ने १७३६ मध्ये Seven Bridges of Königsberg प्रॉब्लेमवर लिहिलेला पेपर हा ग्राफ थेअरी मधील पहिला पेपर समजला जातो [३][५].
जाताजाता २.२ : गुलबर्ग्याच्या महावीर नावाच्या जैन गणितीने ख्रिस्तानंतर ९व्या शतकात 'गणित सार संग्रह' हा ग्रंथ लिहिला ह्यात त्याने पर्मुटेशन आणि काँबिनेशनचा जनरल फॉर्म्युला दिला [४][६].
जाताजाता २.३ : ह्या लिखाणाच्या दरम्यानचा शोध; माझा Erdös नंबर तीन आहे. सिक्स डिग्री ऑफ सेपरेशन सारखा हा नंबर आहे. Paul Erdös ने त्याच्या आयुष्यात १५००च्या वर पेपर्स लिहिले. ग्राफ थेअरी आणि कोन्बिनेतोरीक्सा मध्ये त्याचे खूप मोलाचे योगदान आहे.
ह्या विषयात केलेले संशोधन :ज्या ग्राफ मध्ये प्रत्येक बिंदू हा उरलेल्या इतर बिंदूंशी एका रेषेने जोडलेला असतो त्याला संपूर्ण ग्राफ म्हणतात. एका दिलेल्या ग्राफ मधील सगळ्या रेषा झाकायला कमीतकमी किती संपूर्ण ग्राफ लागतील (त्याला सोयीकरता 'संपूर्ण ग्राफ झाकण' असे म्हणू)? हा आकडा प्रत्येक ग्राफ बरोबर बदललेले पण मग ग्राफच्या ह्या 'संपूर्ण ग्राफ झाकण' अकड्याचे गुणधर्म काय? ह्याला काही 'लघुतम' वा 'महत्तम' अशा स्वरूपाच्या मर्यादा आहेत काय? ह्यावर खूप संशोधन झालेले आहे. ग्राफच्या विविध गुणधर्मावरून ग्राफची वेगवेगळे प्रकार मानले गेले आहेत. अशाच एका प्रकारच्या ग्राफ करता 'संपूर्ण ग्राफ झाकण' ह्या आकड्यावरिल महत्तम मर्यादेवर संशोधन केले.
व्हेरी लार्ज स्केल इंटिग्रेशन, डिझाइन फॉर टेस्ट
इलेक्ट्रॉनिक सर्किट ही मुख्यतः एकत्र जोडलेल्या स्विचेस चे जाळे असते. प्रत्येक स्विच आपापल्या धाग्यातील इलेक्ट्रिक करंट त्या स्विचच्या नियंत्रण आज्ञेप्रमाणे संयमीत करतो. ह्या नियंत्रण आज्ञा विद्युतभाराच्या रूपात दिल्या जातात. प्रत्येक जाळे हव्या असलेला कार्यकारणभावा प्रमाणे बनवलेले असते. जाळ्यामध्ये काही स्विचेस बाह्यजगतातून नियंत्रित होतात (इनपुटस) तर उरलेले जाळ्यातील इतर स्विचेस मार्फत. तसेच जाळ्याने बाह्यजगतातील नियंत्रणाला दिलेला प्रतिसाद जाळ्याच्या काही धाग्या मार्फत (आउटपुट्स) दर्शविला जातो.
उदाहरण: समजा 'अ' 'ब' व 'क्यू' ह्या तिन गोष्टी आहेत. तर हया तीनं गोष्टीतील 'आणि' तत्त्वाचा कार्यकारणभावाची व्याख्या अशी करतात. जर 'अ' आणि 'ब' दोन्ही गोष्टी एकाच वेळी खऱ्या असतील तरच 'क्यू' खरे असेल. ह्या कार्यकारण भावाचे इलेक्ट्रॉनिक सर्किट व अशा चार सर्किटची चीप इथे दाखवली आहे.
नवीन तंत्रज्ञानाने आता अशी करोडो स्विचेसची सर्किट एका अतिशय छोट्या काही सेंटीमिटरवर्ग क्षेत्रफळ असलेल्या सिलिकॉनच्या बारीक चकत्यावर बनवता येतात. अशा जाळ्यातील स्विचेसचा आकार काही नॅनोमीटर इतका छोटा असतो. ह्या अश्या तंत्रज्ञानाला व्हेरी लार्ज स्केल इंटिग्रेशन असे म्हणतात.
जेव्हा अशी जटिल जाळी सिलिकॉनवर निर्माण करतात साहजिकच त्यात काही दोष निर्माण होतात. काही धागे तुटतात तर काही धागे एकमेकांना चिटकून बसतात. तर काही धागे कायमस्वरूपी एकाच विद्युत्भाराला बांधले जातात. ह्या दोषामुळे जाळ्याचा अपेक्षित कार्यकारणभाव नष्ट होण्याची शक्यता असते. त्यामुळे अशी जटिल जाळी निर्माण करतानाच ती योग्य पद्धतीने तपासता येतील (टेस्ट) ह्याची काळजी घ्यावी लागते. त्याच प्रमाणे ह्या जाळ्यात निर्माणे होणारे दोष कुठल्या प्रकारचे आहेत हे जाणण्यासाठी त्या दोषांचे मोडेल बनवावे लागते. तपासणी किती खात्रीलायक आहे ह्याची मोजमाप बनवावी लागतात. त्याच प्रमाणे ही जाळी तपासण्यासाठी लागणारा वेळ, खर्च ह्या सगळ्याचा विचार करून जाळी तपासण्यासाठी तंत्र शोधावी लागतात.
पीएचडी दरम्यान केलेले संशोधन: दिलेले जाळे बाहेरून आपण तपासण्या पेक्षा ते आपोआप स्वतः स्वतःला तपासू शकले तर? अशा प्रकारच्या स्व-परीक्षा करण्यासाठी अनेक प्रकारची तंत्रे विकसीत केली गेली आहेत. ह्यामध्ये जाळे स्वतः स्वतःला तपासते व त्याप्रमाणे बाह्य-जगताला सूचीत करते. अशा एका स्व-परीक्षा प्रणालीवर संशोधन केले.
कंप्युटरमुळे आता हे सगळे काम स्वयंचलित पद्धतीने करता येते. हे सगळे काम स्वयंचलित कसे करायचे ह्याचा अभ्यास करणारी शाखा म्हणजे इलेक्ट्रॉनिक डिझाइन ऑटोमेशन. सध्या असे ऑटोमेशन बनवणाऱ्या कंपनीत त्यांच्या डिझाइन फॉर टेस्ट साठीच्या रिसर्च आणि डेव्हलपमेंट विभागात मी काम करतो.
३. दिडकिची भांग
इंजिनीअरिंग मध्ये नवनिर्माण अध्याहृत आहे. इंजिनीअरिंगचा उद्देश नुसते जाणून घेणे हा नाही. तर माहीत असलेल्या गोष्टीचं व त्यांच्या गुणधर्मांचा वापर करून जीवन सुलभ होईल अशा नवीन गोष्टींची निर्मिती करणे हा आहे. एका प्रश्नाची अनेक उत्तरे असतात. इंजिनीअरिंग दिलेल्या परिस्थितीत उत्तम उत्तरच अपेक्षित करते. एका अर्थाने मूलभूत सायन्स पॅसिव्ह आहे ते फक्त निसर्गात असलेल्या (ज्ञात/अज्ञात) गोष्टीचं शोध घेते व त्या गोष्टी तशा का ह्याचे स्पष्टीकरण शोधते. अर्थात सायन्स व इंजिनीअरिंग ह्यात एकप्रकारचे रिवोल्विंग डोअर आहे. दोन्ही क्षेत्रातील लोक एकमेकाच्या भूमिका संशोधना दरम्यान वठवत राहतात. इंजिनीअरिंग मधला रिसर्च त्यामुळे 'ह्याचा उपयोग काय व अत्ता जे उपलब्ध आहे त्यांपेक्षा हे चांगले आहे का?' ह्या तत्त्वावर चालतो. तुमची कल्पना चांगली तेंहाच होते जेंहा ती सद्य उपलब्ध असलेल्या उत्तरापेक्षा कुठल्यातरी बाबतीत सरस असते. केवळ 'हे अजून एक वेगळं उत्तर' म्हणून तुमचे संशोधन सहसा प्रसिद्ध करता येणे अवघड असते.
इंजिनीअरिंग मध्ये नुसत्या उत्तराला महत्त्व नसते तर त्याचे अवकाश ही महत्त्वाचे असते. शेवटी निर्माण केलेली वस्तू कुणीतरी वापरणे आवश्यक असते. त्यामुळे ह्यात मार्केटचा भागही येतो. वस्तू वापरण्यास सुरक्षित, ठराविक वेळात, योग्य क्वालिटीची, योग्य खर्चात, व दिलेल्या सामाजिक नियमात, बसणारी अशी बनवायची असते. ह्या सगळ्या दबावांचे आकलन करून उत्तरे शोधायची असतात. त्याचा अनुभव इंजिनिअरला असणे महत्त्वाचे असते. एकाच माणसाला ह्या सगळ्यात महारथ मिळवता येण्यासाठी खूप वेळ लागतो (स्वतःची कंपनी असेल तर गोष्ट वेगळी). आणि बऱ्याच वेळा ते शक्यपण नसते. म्हणून इंजिनीअरिंग हा कलेक्टिव्ह एफ़र्ट असतो.
मास्टर्स नंतर डॉक्टरेट की इंडस्ट्री? जेव्हा माझ्या समोर हा प्रश्न आला तेंहा मी खूप द्विधा मनस्थितीत होतो. पण जेव्हा नोकरीच्या जाहिराती पाहायला सुरवात केली तेव्हा जाणवले मास्ट्र्स + तीन वर्षाचा जॉब अनुभव हा डॉक्टरेट इतका धरतात. इंडस्ट्रीत टेक्निकल व मॅनेजमेंट अशा दोन वेगळ्या शिड्या असतात. टेक्निकल लॅडरवर तुमचे डॉक्टरेट असणे फायद्याचे ठरू शकते. मला कधी लोकांना मॅनेज करण्यात रस नव्हता. अशा वेळेस डॉक्टरेट करून मला माझ्या विषयातले 'ड्रायव्हिंग लायसन्स' मिळाले असते. गाठीशी रोखठोक रिसर्चचा अनुभवही आला असता व पुढे आयुष्याच्या वळणार जर स्वांत सुखाय रिसर्च करावासा वाटला असता तर ऍकेडीमियाची दारे उघडी असती. त्यातून मला अजून संशोधनात हातपाय मारायची जाम इच्छा होती. डॉक्टरेट करणे हे लॉजिकल उत्तर होते.
जग हे जत्रेसारखे आहे. इतके विषय आहेत इतक्या गोष्टी करून बघण्यासारख्या शिकण्यासारख्या आहेत पण... पण वेळ नाही. आपला विषय पूर्णं न सोडता त्याच्या साहाय्याने दुसऱ्या आवडीच्या क्षेत्रात जाण्यासाठी शोर्टेस्ट पाथ शोधणे चालू आहे. कुठल्याही नवीन विषयात आनंद भोगण्यासाठी, एक तरी ओवी अनुभवण्यासाठी बराच पल्ला गाठावा लागतो. नाहीतर दूरून डोंगर साजरे हे काही दिवसात समजते. कुठल्याही विषयात समाधानाचे काही क्षण मिळायला आधी त्या विषयात भरपूर घाम, रक्त अश्रू गाळावे लागतात. हे मात्र ह्या सगळ्या प्रवासात शिकलो. त्यामुळे आता जेव्हा नवीन काही करावेसे वाटते तेव्हा कायम स्वत:ला हे सांगत राहतो,
संदर्भः
[५] Biggs, N.; Lloyd, E. and Wilson, R. (1986), Graph Theory, 1736-1936, Oxford University Press
[पीजे १] लिहिताना आधी रेषा ऐवजी रेखा हा शब्द वापरला होता. बिंदू व रेखा ह्यांचे संबंध ह्यावरून 'गंगा कि सौगंध' चे हे गुणधर्म होतात.
ऋणनिर्देशः
[अ] शुलेखन तपासणी व पहिले समिक्षण ; नंद्या
भारी!!!
भारी!!!
नमनाला घडाभर असले तरी नतमस्तक
नमनाला घडाभर असले तरी नतमस्तक व्हावे असे लेखन आणि हो संशोधनसुद्धा !
अप्रतिम लिखाण आवडले. धन्यवाद डॉ.पेशवा जी ! आपली ओवी खरच अनुभवून झाली आहे असे वाटले.
अतिशय सुंदर लेख, अप्रतीम!
अतिशय सुंदर लेख, अप्रतीम! किमान दहा वाक्ये तर प्रचंड आवडली. त्यातील काही:
शिक्षण म्हणजे समृद्ध होणे
माहितीचे ज्ञानात रुपांतर
ओवी - सुरेखच
शिकायला वेळ कमी आहे हा पॅरा
व्वा व्वा डॉक्टर!
======================
मध्यंतरी कोणीतरी कोणाचे तरी विधान येथे दाखला म्हणून दिले होते ते पटले पुन्हा! सर्व क्षेत्रे वेगवेगळी असतात हे गृहीतकच पुन्हा तपासायला हवे.
धन्यवाद!
-'बेफिकीर'!
अभ्यासू वृत्ती असल्यामुळे
अभ्यासू वृत्ती असल्यामुळे कलाकृती निर्माण करतानाही :
१. अधिक तयारी करणे
२. कलाकृती ही इतरांसाठी अभ्यासाचा विषय बनावी असे ध्येय असणे
३. उत्स्फुर्ततेपेक्षा कल्पना मुरवण्याकडे कल वाढणे
हे सर्व होते काय? एक अतिशय स्पष्ट व प्रामाणिक शंका आहे. कृगैन
श्रीमंत, जबरी!
श्रीमंत, जबरी!
बापरे! या लेखमालेतील एकेक
बापरे! या लेखमालेतील एकेक मायबोलीकर कसले भन्नाट हुषार आहेत!
आम्हा सामान्यान्च्या कल्पनेच्याही पलिकडल पण वास्तव जग अनुभवलेले.
ग्रेट.
अतिशय सुरेख लिहिले आहे पेशवा.
अतिशय सुरेख लिहिले आहे पेशवा. खूप आवडले.
एखाद्या गोष्टीची नुसती माहिती
एखाद्या गोष्टीची नुसती माहिती असणे म्हणजे ज्ञान नव्हे. तर ती गोष्ट व तिचा अवकाश ह्यांचे परस्पर संबंध. >>>
टेरिफिक.
सुरेख लिहीलेत. सुघडही.
धन्यवाद.
सर्व लेख उत्तम व प्रेरणादायी.
सर्व लेख उत्तम व प्रेरणादायी. शेवट्चा परिच्छेद तर लिहूनच घेतला आहे. ही सर्व मालिका बाल मायबोलीकरांना अतिशय स्फूर्तिदायक आहे. विशेषतः सध्याच्या इन्स्टंट ग्रॅटिफिकेशनच्या जमान्यात. परत एकदा शांतपणे वाचणार.
पुढील कारकिर्दीसाठी शुभेच्छा.
ग्राफ थिअरी आणि
ग्राफ थिअरी आणि कॉम्बेनेटोरिक्स... भारीच एकदम..
इंजिनियरींग नंतर गणिताचा संपर्कच सुटलाय.. परत अभ्यास करायला सुरुवात केली पाहिजे आता... किती झेपेल ह्याची शंका आहेच पण सुरु करावेच..
लेख मस्तच झालाय...
अतिशय छान !
अतिशय छान !
मस्त ! इथे लिहील्याबद्दल
मस्त !
इथे लिहील्याबद्दल मनापासुन आभार.
<<इंजिनीअरिंग मध्ये नवनिर्माण अध्याहृत आहे. इंजिनीअरिंगचा उद्देश नुसते जाणून घेणे हा नाही. तर माहीत असलेल्या गोष्टीचं व त्यांच्या गुणधर्मांचा वापर करून जीवन सुलभ होईल अशा नवीन गोष्टींची निर्मिती करणे हा आहे. एका प्रश्नाची अनेक उत्तरे असतात. इंजिनीअरिंग दिलेल्या परिस्थितीत उत्तम उत्तरच अपेक्षित करते. >> हे इंजिनीअरिंगच्या डिग्री अभ्यासक्रमात शिकणार्यांना (आणि शिकवणार्यांनाही) उपयोगी आहे
पेशवे नवीन जोडलेल्या भागासकट
पेशवे नवीन जोडलेल्या भागासकट सगळेच चांगले लिहीले आहे
एखाद्या गोष्टीची नुसती माहिती
एखाद्या गोष्टीची नुसती माहिती असणे म्हणजे ज्ञान नव्हे. तर ती गोष्ट व तिचा अवकाश ह्यांचे परस्पर संबंध. त्या अवकाशातील इतर गोष्टींबरोबरचे तिचे नातेसंबंध. त्या गोष्टीचे स्वतःचे गुणधर्म ते गुणधर्म तशी होण्याची कारणे. अशा व इतर अनेक त्या गोष्टी संदर्भातील मिती जेव्हा आपली बुद्धी एकाचवेळी तोलू शकते व अंतर्मनाने एकत्रित आकलन करू शकते तेव्हा माहितीचे ज्ञानात रुपांतर होते. 'एक तरी ओवी अनुभवावी' ह्यातील अनुभव म्हणजे हे माहितीचे ज्ञानात होणारे रुपांतर. थोड्या लोकांना एखादी गोष्ट अशी पूर्णत्वाने कळते. इतरवेळेस त्या गोष्टीची एखादी मिती समजून घेण्यातच आयुष्य जाते. असे एक एक करत मिती उलगडत जाणे म्हणजेच तर संशोधन.>> अप्रतिम लिहीले आहेस पेशवा. हॅट्स ऑफ!
आम्हाला पेशवा म्हणजे खूप काहीतरी अनेक अनेक वर्ष शिकतोय इतकेच ठाऊक! ते नक्की काय आणि का- ते आता समजले! जस्ट टू गुड!! अनेकानेक शुभेच्छा!
>> आम्हाला पेशवा... अनेक
>> आम्हाला पेशवा... अनेक वर्षे >>>
अमेरिकेत डोक्टरेट मिळवण्यासाठि सरासरी ७-८ वर्षे लागतात. ह्या सगळ्या प्रोसेसची अंडर्बेली नमुद केली नाही (नाहीतर डोक्टरेट्ची अलका कुबल) वै. सारखी नवी आयडी घ्यावी लागली असती. पण लागणारा वेळ संदर्भात हा लेख वाचावा. तसेच NSF चा हा अहवाल देखील.
खूप सुंदर लिहिलंय गणितात पी.
खूप सुंदर लिहिलंय गणितात पी. एच. डी !!
पेशवे , अप्रतिम लेख
पेशवे , अप्रतिम लेख ...कॉलेजच्या आठवणी जाग्या केल्यात आपण
ग्राफ थिअरी आणि कोंबिनेटोरिक्स. ह्या विशयाने मला लास्ट सेम मधे पायात पाय घालुन पाडले होते पण सुटलो बुवा कसा तरी !!
७ ब्रिज प्रॉब्लेम वर काही तरी लिहा की... ... it is one of the most beautiful proofs in mathematics which layman can understand !!
बाकी ह्या लेखा बद्दल परत एकवार अभिनंदन !
भारी लिहिलंय.वर कित्येकांनी
भारी लिहिलंय.वर कित्येकांनी कोट केलेल्या ओळी मलाही आवडल्यात.
मायबोलीकर खरंच भन्नाट हुशार आहेत.
पेशवे. छान लिहले आहे.
पेशवे. छान लिहले आहे.
मस्त. तो पिजे १ कुठे आहे? >
मस्त. तो पिजे १ कुठे आहे?
> सर्व क्षेत्रे वेगवेगळी असतात हे गृहीतकच पुन्हा तपासायला हवे.
ग्राफ्सने ती क्षेत्रे जोडता यायला हवी. व्हेन डायग्राम्स पासुन सुरुवात करता येईल.
थोडेफार ग्राफ्सच्या कोड्यांबद्दलही बोलायला हवे. माझे एक आवडते म्हणजे इंस्टंट इनसॅनिटी:
मायकल्स सारख्या ठिकाणी मिळणार्या लाकडी ठोकळ्यांनी ५ मिनिटात बनवता येते. सोडवायला किती ते तुमच्यावर.
http://www.jaapsch.net/puzzles/insanity.htm
माझा नंबर २
छान लिहिले आहे. गहन विषय सोपा
छान लिहिले आहे.
गहन विषय सोपा करुन लिहिण्याची, तूम्हा लोकांची कामगिरी आमच्यासाठी वरदानच आहे.
छान लिहिलंय! बरचंसं सोपं करून
छान लिहिलंय! बरचंसं सोपं करून सांगण्याचा खूप छान प्रयत्न !
माबोकर काय काय करतात!
ग्राफ थेअरी!_/\_ एखाद्या
ग्राफ थेअरी!_/\_
एखाद्या गोष्टीची नुसती माहिती असणे म्हणजे ज्ञान नव्हे. तर ती गोष्ट व तिचा अवकाश ह्यांचे परस्पर संबंध. त्या अवकाशातील इतर गोष्टींबरोबरचे तिचे नातेसंबंध. त्या गोष्टीचे स्वतःचे गुणधर्म ते गुणधर्म तशी होण्याची कारणे. अशा व इतर अनेक त्या गोष्टी संदर्भातील मिती जेव्हा आपली बुद्धी एकाचवेळी तोलू शकते व अंतर्मनाने एकत्रित आकलन करू शकते तेव्हा माहितीचे ज्ञानात रुपांतर होते. 'एक तरी ओवी अनुभवावी' ह्यातील अनुभव म्हणजे हे माहितीचे ज्ञानात होणारे रुपांतर. व्वा! क्या बात है!
संशोधनाचा विषय जबरी आहे.
संशोधनाचा विषय जबरी आहे. लिहिलंय पण झकास! प्रत्येक भागाचं शीर्षक फारच मस्त आणि कल्पक!
दिसला, [५] खाली पिजे दिसला
दिसला, [५] खाली पिजे दिसला [कुणाला कशाचे, कुणाला कशाचे]
आकृत्यांना ज्या लिंक्स दिल्या आहेत त्या ऐवजी त्या आकृत्याच विकीवरुन साभार म्हणुन देता नाही येणार का?
पुढच्या भागांमधे एक-दोन सचीत्र उदाहरणेही दे प्लीज. (... दे कृपया किंवा .... कृपया दे म्हणणे कृत्रिम वाटते. मराठीच्या रोखठोकतेचा परीणाम?)
इंटरेस्टींग विषय आहे.. ! आणि
इंटरेस्टींग विषय आहे.. !
आणि सुरेख लिहिलाय लेख..
मस्त लिहिले आहे.
मस्त लिहिले आहे.
जबरी!
जबरी!
अप्रतिम लिहीले आहे !!
अप्रतिम लिहीले आहे !!
पेशवा: तुझ्याबद्दलचा आदर खूप
पेशवा: तुझ्याबद्दलचा आदर खूप जास्त वाढला! छान लिहीलंयस.
बादवे... पीजे १ पण लई भारी आहे रे!!
Pages