मायबोली गणेशोत्सव २०१५ - कूटप्रश्न-प्रवेशिका स्वीकारणे बंद करत आहोत!

Submitted by संयोजक on 16 September, 2015 - 13:47

नमस्कार!

'आदिदेव तू बुध्दीसागरा' असं ज्याचं वर्णन गीतांमधून केलं आहे त्या गणेशाचं आगमन आज घरोघरी झालं असेल. या बुध्दीदात्याचा आपल्यावर वरदहस्त असावा अशी आपण नेहमीच प्रार्थना करीत असतो. यावर्षी आपले हुशार छोटे मायबोलीकर आपल्या बुद्धीची चुणूक दाखवून बाप्पाला प्रसन्न करुन घेणार आहेत. ते कसं काय? अहो, भल्याभल्यांना सुटणार नाहीत असे अवघड गणिती कूटप्रश्न सोडवून! आम्हाला खात्री आहे की, ही बच्चेकंपनी चुटकीसरशी हे प्रश्न सोडवून दाखवेल. त्यामुळेच आम्ही 'जरा डोकं चालवा' वगैरे काही म्हणणारच नाही आहोत! आजवर चित्रं, गाणी, गोष्टी यांतून आपल्या बुध्दीची चमक दाखवणारा हा बालचमू तर्कशास्त्र, अंकगणित यासारख्या विषयातही किती चतुर, चाणाक्ष आहे हे पाहून बाप्पा नक्कीच खूश होतील. त्यांनी सोडवलेली ही उत्तरं तुम्ही आम्हाला दाखवणार कशी? या कोड्याचं उत्तर मात्र काही अवघड नाहीये. त्यासाठी फक्त जऽरा ध्यान देऊन पुढचे नियम वाचून घ्या.



१. ही स्पर्धा नाही, उपक्रम आहे.

२. पाचवी ते दहावीच्या विद्यार्थ्यांसाठी चढत्या क्रमाने दर दोन दिवसांनी दोन कूटप्रश्न जाहीर केले जातील. पहिल्या दिवशी पाचवीसाठी, दोन दिवसांनी सहावीसाठी अशा प्रकारे प्रश्न घोषित होतील.

३. प्रश्न सोडवण्यासाठी दोन दिवसांचा अवधी मिळेल. आवश्यक वाटल्यास योग्य वेळी संयोजक हिंट देतील.

४. मुलांनी सोडवलेल्या उत्तराचा फोटो घेऊन पालकांनी तो त्याच प्रश्न धाग्याच्या प्रतिसादात देणे आवश्यक आहे. त्याच पोस्टीत पाल्याचे नाव, वय, इयत्ता वगैरे लिहावे.

५. प्रश्न सोडवण्यासाठी कुणाचीही मदत घ्यायला हरकत नाही, परंतु प्रश्नाची उकल मुलांनी स्वत:च्या शब्दांत लिहिणे अपेक्षित आहे. ज्यांची मदत घेतली आहे त्यांची अगदी नावे देता आली नाही तरी उल्लेख करावा. (उदा. आई, बाबा, मित्र/मैत्रीण, आंतरजाल इ.)

६. उत्तरे अगदी काटेकोर नसली, तरी चालू शकेल, परंतु ती जास्तीत जास्त स्वच्छ व नि:संदिग्ध शब्दांत असावीत.

७. एकच प्रश्न मराठी व इंग्रजी दोन्ही भाषांतून दिला जाईल. पाल्य कोणत्याही भाषेत उत्तर लिहू शकतो.

८. पाचवीचा प्रश्न, पहिली ते दहावीपर्यंतचे विद्यार्थी तसेच इतर मायबोलीकरही सोडवू शकतात. प्रश्न त्या त्या इयत्तेची काठीण्य पातळी लक्षात घेऊन दिले आहेत. त्याच इयत्तेतील मुलांकरता आहेत असं नाही.

९. प्रश्नाचे अचूक उत्तर संयोजक योग्य वेळी जाहीर करतील.

कूटप्रश्न - १

पाचवी :

औषधाच्या "अ" आणि "ब" अशा २ प्रकारच्या गोळ्या तुम्हाला रोज सकाळी प्रत्येकी १ अशा घ्यायच्या आहेत. गोळ्यांवर कुठल्याही प्रकारचे नाव किंवा खूण नाही. दोन्ही गोळ्या आकार, वजन, वास इत्यादी सर्व भौतिक परिमाणांवर सारख्या आहेत. त्यांच्यात फरक करायचे एकमेव साधन म्हणजे प्रयोगशाळेत रासायनिक परीक्षा. अन्य कुठल्याही प्रकारे एक गोळी दुसरीपासून वेगळी सांगता येणार नाही.

तुमच्याकडे "अ" आणि "ब" प्रकारच्या प्रत्येकी दोन गोळ्या अशा एकूण चार गोळ्या आहेत. आत्ता लगेच तुम्हाला त्यातली प्रत्येकी एक गोळी घ्यायची आहे. कमी किंवा जास्त घेऊन चालणार नाही. परंतु दुर्दैवाने त्या गोळ्या तुमच्या हातून खाली पडून एकत्र झालेल्या आहेत. तुम्हाला आता प्रयोगशाळेत जाऊन त्या वेगळ्या करता येणार नाहीत. तर तुम्ही काय शक्कल लढवाल जेणेकरून तुम्हाला प्रत्येक प्रकारची एक गोळी अशा दोन-दोन गोळ्या आत्ता आणि उद्या घेता येतील?

5th grade :

There are two medicine pills of type 'A' and type 'B' prescribed to you, one of each type to be taken every morning. They are physically indistinguishable. There are no markings on any of them, and they are exactly identical in all physical parameters such as shape, weight, smell, etc. There is only one way to distinguish between them, and that is by a chemical test in a laboratory.

You have 2 pills each of type 'A' and type 'B', so 4 pills in all for today and tomorrow. You have to immediately take 1 pill of each type. You cannot consume more or less. But unfortunately the pills have been mixed together and you cannot go to any laboratory to distinguish between them. So what should you do to ensure that you consume 1 pill of each type today and tomorrow?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

उत्तर : चारी गोळ्या अर्ध्या कापा. प्रत्येकीचा एक अर्धा भाग आज खा, आणि दुसरा अर्धा भाग उद्या खा.

अ१, अ२, ब१ आणि ब२ अशा गोळ्या असतील, तर अ१ चा अर्धा भाग + अ२ चा अर्धा भाग = "अ" प्रकारची एक गोळी आज पोटात जाईल आणि ब१ चा अर्धा भाग + ब२ चा अर्धा भाग = "ब" प्रकारची एक गोळी आज पोटात जाईल. तीच गोष्ट उद्याची.

Answer : Cut the four pills in half. Eat one half of each pill today, and the remaining half tomorrow.

If the pills are named A1, A2, B1, and B2, you consume half of A1 + half of A2 = 1 pill of type A today, and similarly, half of B1 + half of B2 = 1 pill of type B today. Same thing happens tomorrow.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

दिलेल्या आकड्यांत गणिती चिन्हे ( + , - , ÷, X , कंस, इ.) वापरून दिलेले उत्तर येईल असा प्रश्न तयार करा.

Insert mathematical symbols so as to form a question to arrive at the given answer :

1) 4 7 3 9 = 17

उत्तर : 4 +7 - 3+ 9=17

2) 9 4 3 7 = 84

उत्तर: 9 X 4 ÷ 3 X 7 = 84

3) 9 6 3 7 = 0

उत्तर: 9 - 6 ÷ 3 -7 = 0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

कूटप्रश्न - २

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

सहावी :

गणेशोत्सवानिमित्त फळांच्या तीन पेट्या तुमच्याकडे आल्या आहेत. एकीत फक्त सफरचंदे, एकीत फक्त संत्री आणि उरलेल्या पेटीमध्ये सफरचंदे आणि संत्री आहेत. त्यांच्यावर "सफरचंदे", "संत्री" आणि "सफरचंदे आणि संत्री" अशा नावांच्या पट्ट्या आहेत. परंतु तिन्ही पेट्यांवर त्या चुकीच्या पडलेल्या आहेत. कुठल्याही पेटीवर योग्य नाव पडलेले नाही. तुम्हाला तिन्हींपैकी एकाच पेटीतून एकच फळ काढून बघायला परवानगी आहे. (प्रत्येकीतून एक फळ काढण्याची नव्हे.) अशा परिस्थितीत कुठल्या पेटीत काय आहे हे कसे ओळखता येईल?

6th grade :

Three boxes have been delivered to you for Ganeshotsava. One of them contains only Apples, one contains only Oranges and the third contains both Apples and Oranges. They are labelled "Apples", "Oranges", and "Apples and Oranges". But the labels have been misplaced. Not a single one of them has the correct label. You are allowed to pick up only one fruit from only one of the three boxes and see what it is. (NOT allowed to pick one from each of them) In such a situation, how will you identify the boxes correctly?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

उत्तर : "सफरचंदे आणि संत्री" लिहिलेल्या पेटीतून फळ काढून बघा.

(१) जर ते सफरचंद असेल, तर तो डबा फक्त संत्र्यांचा असू शकत नाही. त्याचबरोबर कुठल्याच पेटीवर बरोबर नाव पडले नसल्याने त्या पेटीत सफरचंदे आणि संत्री दोन्ही असू शकत नाही. म्हणून ती पेटी फक्त सफरचंदांची असली पाहिजे.

हे पक्के झाल्यावर पुढे विचार असा करा, की "सफरचंदे" लिहिलेल्या पेटीत जर सफरचंदे आणि संत्री दोन्ही असतील, तर ह्याचा अर्थ असा, की "संत्री" पेटीवर नाव बरोबर पडले आहे, जे दिलेल्या माहितीत बसत नाही. म्हणून "सफरचंदे" लिहिलेल्या पेटीत फक्त सफरचंदे असू शकत नाहीत, व सफरचंदे आणि संत्री सुद्धा असू शकत नाहीत. म्हणून ती पेटी संत्र्यांचीच असली पाहिजे.

आता उरले कोण? "संत्री" लिहिलेली पेटी. त्यात सफरचंदे आणि संत्री दोन्ही असली पाहिजेत, कारण आपण बाकीच्या दोन्ही पेट्या कशाच्या आहेत ते आधीच शोधले आहे.

(२) जर ते फळ संत्रे असेल, तर वरील उकलीच्या अगदी समांतर प्रक्रियेने पुन्हा सर्व पेट्यांची नावे व्यवस्थित शोधता येतील. पूर्ण लिहून बघा.

Answer : Pick up a fruit from the box labelled "Apples and Oranges".

(1) Suppose that fruit is an Apple. Then the box cannot contain only Oranges. At the same time, since no box is labelled correctly, the box cannot contain both Apples and Oranges. This means that the "Apples and Oranges" box has to contain only Apples.

Now we'll investigate what happens with the box labelled "Apples". If this contained both Apples and Oranges, then this would mean that the box labelled "Oranges" indeed contains only Oranges. But we already know that this is not the case. Therefore, the box labelled "Apples" cannot contain both Apples and Oranges, nor can it contain only Apples. Thus, it has to contain only Oranges.

The third box named "Oranges" has to then contain both Apples and Oranges, since that is the only option remaining.

(2) Suppose that fruit is an orange, then an exactly parallel argument to the one above will again give correct names to all the boxes. Try to write it down.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

कूटप्रश्न ३ -

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
सातवी :

"बापरे, किती ते प्रसादाचे मोदक!?" उंदीरमामा स्तिमित होऊन बघायला लागले.

"बघ की रे. ह्यावर्षी कमालच केलीये सगळ्यांनी." बाप्पा हसत हसत म्हणाले.

"कुणी ११ पाठवलेत, तर कुणी १११. ११११ पण आहेत अन् १११११ सुद्धा!" आश्चर्य अजून शमले नव्हते.

"आता हे संपेपर्यंत काय करणार त्यांचे?" बाप्पांनी हसत हसत विचारणा केली.

"मी नवीनच खेळ खेळणार आहे. ह्या प्रत्येक प्रसादाला भरीव चौरसाकृतीमध्ये बसवणार आहे. छान दिसेल." उंदीरमामांची कल्पनाशक्ती धावायला लागली.

"म्हणजे १, ११, १११, ११११, १११११, ११११११, ... अशा सगळ्या फक्त १ ने बनलेल्या संख्या पूर्ण वर्ग आहेत की नाही ते बघणार?"

"प्रयत्न तर करून बघतो. १ अर्थातच आहे, ११ तर नाहीये. १११ ... पण नाही. ..." उंदीरमामांची गाडी ११११ पर्यंत काही पोचली नाही.

"अरे वेड्या, १ सोडून ह्यातली कुठलीच संख्या पूर्ण वर्ग कधीच असणार नाही." बाप्पा मिश्किलपणे म्हणाले.

उंदीरमामांनी खूप विचार केला, पण बाप्पा असे कशावरून म्हणाले असतील ते काही त्यांना कळाले नाही. तुम्हाला सांगता येईल?

7th Grade :

"So many Modaks!?" Undeermaamaa was stunned.

"Yes! I am surprised as well!" Baappaa was pleased.

"11, 111, 1111, even 11111!" Undeermaamaa began counting individual offerings.

"Now what shall we do of all these?" Baappaa asked, smiling.

"I am going to try to arrange each of them in a square. It will look very nice."

"So you will try to see if 1, 11, 111, 1111, 11111, ... all these numbers made by only the digit 1 are perfect squares or not?"

"I shall try. 1 obviously is a perfect square. 11 is not. Even 111 ... is not." Undeermaamaa could hardly reach 1111.

"Except 1, none of these numbers will ever be a perfect square." Baappaa was smiling mischievously.

Even after a lot of thought, Undeermaamaa couldn't figure out why Baappaa said so. Could you?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

उत्तर : १ सोडल्यास ११, १११, ११११, १११११, ... ह्या सर्व संख्यांना ४ ने भाग देऊन बाकी ३ उरते. त्यामुळे ह्यातली कुठलीही संख्या पूर्ण वर्ग असू शकत नाही.

१ ते १० पर्यंतच्या संख्यांचे पूर्ण वर्ग करून त्यांना ४ ने भाग दिल्यावर बाकी किती उरते हे बघितले असता असे लक्षात येते, की सम संख्यांच्या वर्गांना ४ ने पूर्ण भाग जातो, तर विषम संख्यांच्या वर्गांना ४ ने भाग दिल्यास बाकी १ उरते. हा नियम सर्वच संख्यांना लागू होतो, असे सिद्ध करता येते -

(२क)^२ = ४क^२

(२क + १)^२ = ४क^२ + ४क + १ = ४(क^२ + क) + १

ह्याउलट (४च्या विभाज्यता कसोटीवरून दिसते, की) शेवटचे दोन आकडे ११ असलेल्या कुठल्याही संख्येस ४ ने भाग दिल्यास बाकी ३ उरते. म्हणून अशी संख्या कुठल्याही संख्येचा पूर्ण वर्ग असू शकत नाही.

Answer : Except 1, all the numbers 11, 111, 1111, 11111, ... leave remainders of 3 when divided by 4. Hence, none of these numbers can be a perfect square.

If we square integers between 1 to 10 and observe what happens when we divide them by 4, we see that there is a pattern. Squares of even numbers are always divisible by 4, while squares of odd numbers always leave a remainder of 1 when divided by 4. This rule is in fact true for all squares of integers, as can be proven -

(2k)^2 = 4k^2

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1

But, we can see (from divisibility test of 4, for example) that any integer which has the last two digits 11 must leave a remainder of 3 when divided by 4. Thus, such an integer cannot be a perfect square.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

सातवी आठवीच्या मुलांसाठी

For seventh and eighth graders

दिलेल्या आकड्यांत गणिती चिन्हे ( + , - , ÷, X , कंस, इ.) वापरून दिलेले उत्तर येईल असा प्रश्न तयार करा.

Insert mathematical symbols so as to form a question to arrive at the given answer :

4) 9 6 3 7 4 = 100 (हिंट : दोन आकडी संख्या, hint : two digit numbers)

answer 96 ÷ 3 -7 x4 = 4

5) 9 6 3 7 4 = 100 (hint : bracket , हिंट : कंस)

answer (96 ÷ 3 -7) x4 =100

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
कूटप्रश्न ४
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

आठवी :

मायबोली गणेशोत्सवात मदत करणार्‍या सगळ्यांना संयोजकांतर्फे खरेखुरे लाडू देण्यात येतात. त्यासाठी ह्यावर्षी लाडवांची दहा खोकी मागवण्यात आली. प्रत्येक खोक्यात १००-१०० ग्रॅमचे २५ लाडू अशी मागणी होती. पण चुकीने एका खोक्यातले सगळे लाडू ९० ग्रॅमचे आले. बाकी सर्व खोक्यांमध्ये मात्र सगळे लाडू मागवल्याप्रमाणेच आहेत. संयोजकांकडे इलेक्ट्रॉनिक वजनकाटा आहे, ज्यावर १० किलोपेक्षा कमी वजन ठेवल्यास तो किती ग्रॅम वजन आहे ते अचूक सांगतो. तर ह्या काट्यावर एक आणि एकच वेळा वजन करून कुठल्या खोक्यात कमी वजनाचे लाडू आहेत हे कसे सांगता येईल?

8th Grade :

Organizers give actual ladoos to everybody who helps out with Maayboli Ganeshotsava. 10 boxes of ladoos were ordered this year for this purpose. Each box was supposed to contain 25 ladoos weighing 100 grams each. But due to a mistake, every ladoo in one of the boxes box weighs 90 grams. All other boxes contain ladoos as ordered. The organizers have an electronic weighing machine, which tells exact weight in grams of anything that is kept on it as long as it is less than 10 Kg. How will you find out the faulty box with one and only one weighing on this machine?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

उत्तर : खोक्यांना १, २, ..., १० असे क्रमांक द्या. क्रमांक १ च्या खोक्यातून १ लाडू, क्रमांक २ च्या खोक्यातून २ लाडू, क्रमांक ३ च्या खोक्यातून ३ , असे करत करत १० नंबरच्या खोक्यातून १० लाडू काढा आणि ह्या सर्वांचे एकत्रित वजन काट्यावर करा.

जर सर्व लाडू १०० ग्रॅमचे असतील, तर वजन ५५०० ग्रॅम भरेल. त्यापेक्षा किती ग्रॅम वजन कमी आले, हे पाहून कुठल्या क्रमांकाच्या खोक्यात घोळ आहे हे लगेच सांगता येईल. उदाहरणार्थ, जर १० ग्रॅम वजन कमी भरले, तर १ च लाडू कमी वजनाचा असेल आणि म्हणून क्रमांक १ चा खोका कमी वजनाचा असेल; जर २० ग्रॅम वजन कमी असेल, तर २ लाडू कमी वजनाचे आणि ह्याचाच अर्थ क्रमांक २ चा खोका कमी वजनाचा, इत्यादी.

Answer : Label the boxes as 1, 2, ..., 10. Take 1 ladoo from Box no. 1, 2 ladoos from Box no. 2, 3 ladoos from Box no. 3, and in similar fashion, proceed till you take 10 ladoos from Box no. 10. Weigh all of them together on the weighing machine.

If all ladoos weighed 100 grams, the total weight would be 5500 grams. One can easily deduce the number of the box by seeing what the deficiency in perceived and actual weights is. For example, if the total weight is 10 grams less than this, it means that 1 ladoo weighs less, and hence it has to be from Box no. 1. If the total weight is 20 grams less, it means that 2 ladoos weigh less. and thus they have to be from Box no. 2, and so on.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
कूटप्रश्न ५
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
नववी :

एक प्रवासी जंगलातून जात असता रस्त्याच्या फाट्याला येतो. त्याच्या समोर दोन मार्ग आहेत, ज्यातला एक सुरक्षित गावाकडे जातो, तर दुसरा घनदाट अरण्यात हिंस्र प्राण्यांकडे. फाट्यावर तीन माणसे उभी आहेत, ज्यातला एक नेहमी खरे बोलतो, दुसरा नेहमी खोटे बोलतो, तर तिसरा निम्म्या वेळेस खरे, तर उरलेल्या निम्म्या वेळेस खोटे बोलतो, परंतु तो कधी खरे बोलेल व कधी खोटे हे अनिश्चित आहे. त्यांना फक्त "हो" किंवा "नाही" अशी उत्तरे असलेले प्रश्न विचारल्यास ते त्याची "हो" किंवा "नाही" अशी उत्तरे देऊ शकतात. तुम्ही एका वेळेस एका माणसाला निवडून त्याला एक प्रश्न विचारू शकता. (तुम्ही कुणाला प्रश्न विचारताय हे तुम्हाला आधीच सांगावे लागेल. त्या प्रश्नाचे उत्तर तो सोडून इतर कोणीही देणार नाही.) चारपेक्षा जास्त प्रश्न न विचारता तुम्ही सुरक्षेकडे जायचा रस्ता खात्रीपूर्वक कसा ओळखाल?

टीप : हे कोडे २ प्रश्नांत आणि ३ प्रश्नांतसुद्धा सोडवता येते, (म्हणून प्रश्नातली भाषा "चारपेक्षा जास्त नको" अशी वापरली) पण आधी ४ प्रश्नांचे कोडे सोडवणे कदाचित जास्त सोपे जाईल.

9th Grade :

A traveler comes to a fork while walking on a road in a jungle. There are two ways from which he can choose : one leads to safety, while the other leads to denser forest and danger. There are three men standing at the fork. One of them always tells truth, one of them always tells lies, and the third lies half the times and tells truth remaining times, but it is completely random. They will only answer "Yes" or "No" to the questions that have "Yes" or "No" as the only possible answers. Each question is only answered by the person that it is posed to, you have to choose this person before asking the question. How will you find with certainty the road to safety by asking not more than 4 questions?

Remark : This can also be solved using only 2 and only 3 questions. (Which is why the question says "not more than 4") But it might be easier to solve the puzzle using exactly 4 questions first.

उत्तर : प्रत्येकाला "उरलेल्या दोघांपैकी एक अनियमितपणे खरे/खोटे बोलणारा आहे का?" हा प्रश्न विचारा. येथे ३ प्रश्न होतील.

नियमितपणे खरे बोलणारा वरील प्रश्नाचे उत्तर नेहमी "हो" असेच देईल. नियमितपणे खोटे बोलणारा वरील प्रश्नाचे उत्तर नेहमी "नाही" असेच देईल. अनियमित माणूस ह्याचे उत्तर कधी "हो" देईल, तर कधी "नाही" असे देईल. त्यामुळे तिघांची उत्तरे {हो, हो, नाही} किंवा {हो, नाही, नाही} अशी असतील. आता गंमत अशी आहे, की ह्या दोन्ही शक्यतांमध्ये अल्पमतात असलेला माणूस नक्कीच नियमित असेल. {हो, हो, नाही} मधल्या दोन "'हो" पैकी कुठला नियमित खरे बोलणारा असेल ते सांगता यायचे नाही, पण "नाही" वाला माणूस नक्की नियमित खोटे बोलणारा असेल! त्याचप्रमाणे {हो, नाही, नाही} मधला नियमित खोटे बोलणारा माणूस कोण ते सांगता यायचे नाही, पण "हो" वाला माणूस नियमित खरे बोलणाराच असला पाहिजे!

अशा रीतीने तीन प्रश्नांवरून आपल्याला नियमित खरे बोलणारा माणूस कळाला, तर त्याला "सुरक्षित रस्ता हा आहे का?" हे विचारा आणि त्याने सुचवल्याप्रमाणे करा. नियमित खोटे बोलणारा माणूस कळाला, तर त्याला तोच प्रश्न विचारा, आणि त्याने सुचवल्याच्या अगदी विरुद्ध करा. अशा प्रकारे ४ प्रश्नांत काम होईल.

Answer : Ask each one of them the question : "Does one of the other two sometimes lies and sometimes tells the truth?" Thus you have asked 3 questions in all till now.

Consistently truthful one will always answer "Yes", consistent liar will always answer "No" and the random person will sometimes say "Yes" and sometimes say "No" to the above question. Thus, the possible answers you get are either {Yes, Yes, No} or {Yes, No, No}. The funny thing is that in either of these cases, the person with minority answer is always a consistent person. It is impossible to tell which person is the truthful one in case {Yes, Yes, No}, but the person saying "No" has to be the consistent liar! Similarly, In case {Yes, No, No}, it is impossible to tell the consistent liar apart, but the person saying "Yes" has to be consistently truthful!

Thus we have found out after 3 questions a consistent person and we also know if he is a liar or truthful. If he is truthful, ask him "Does this way go to safety" and do as he says. If he is a liar, ask him the same question, and do exactly opposite. Thus we are done after 4 questions.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Insert mathematical symbols so as to form a question to arrive at the given answer :
दिलेल्या आकड्यांत गणिती चिन्हे ( + , - , ÷, X , कंस, इ.) वापरून दिलेले उत्तर येईल असा प्रश्न तयार करा.

ninth and tenth graders

6) 3 2 1 3 1 0 7 7 0 = 1000 (हिंट : तीन आकडी संख्या, hint : three digit numbers)

answer - 321 X 3 + 107 -70 = 1000

7) 3 2 1 3 1 0 7 7 (you have to decide where the = sign can be put. = हे चिन्ह कुठे असावे हे तुम्ही ठरवायचे.)

answer - (32 ÷ 1) - (31 - 0) 7 = 7

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

दहावी :

तुरूंगातील २०१५ कैदी एका रांगेत एकापाठोपाठ एक उभे आहेत. काहींच्या डोक्यावर काळी टोपी आहे, तर काहींच्या डोक्यावर पांढरी. कुणालाही स्वत:च्या डोक्यावरील टोपीचा रंग माहीत नाही. प्रत्येक कैद्याला त्याच्या पुढे उभे असलेल्या सर्व कैद्यांच्या टोप्या दिसत आहेत, परंतु मागच्यांच्या नव्हे. सर्वात शेवटच्या कैद्याला तो स्वतः सोडून सर्व कैद्यांच्या टोप्या दिसत आहेत. प्रत्येक कैद्याला स्वतःच्या डोक्यावरच्या टोपीचा रंग ओळखावयाचा आहे. तुरूंगाधिकारी शेवटच्या कैद्यापासून सुरू करून प्रत्येकाला तो ओळखायला सांगतील. प्रत्येकाने केलेला तर्क सर्वांना ऐकू जाईल. तसेच प्रत्येकाच्या तर्कानंतर तो बरोबर की चूक हे सर्व कैद्यांना सांगण्यात येईल. तुरूंगाधिकार्‍यांची अट अशी आहे, की एकापेक्षा जास्त कैदी रंग ओळखायला चुकले, तर सर्वांना आजन्म तुरूंगवास मिळेल, परंतु सगळ्यांनी रंग बरोबर ओळखला, किंवा फारतर १ कैदी चुकला, तर सर्वांना सोडून दिले जाईल. यात कोणीही खोटेपणा करणार नाही हे गृहीत धरा. कैद्यांना ह्या खेळाची आधी कल्पना देऊन त्यांना संगनमत करण्याची अनुमती देण्यात आलेली आहे. असे असता, कैद्यांनी आपापसात काय रणनीती आखावी जेणेकरून ते सर्व सुटतील?

10th Grade :

There are 2015 prisoners in a prison standing in a line behind one another. Each one has a hat on his head. Each hat can be either White or Black. No prisoner knows the colour of hat on his own head. They can see the colours of every person standing ahead of them, but not behind. The last prisoner can see everybody's colour except his own. Each prisoner has to identify colour of his hat. The jailer will begin with the last prisoner and ask them one by one to guess it. Each prisoner can listen to everybody's guess. And everybody will be told whether the guessing prisoner was right or wrong. If more than one prisoner fails to identify the colour of his hat correctly, then they will all be imprisoned for life. But if at most 1 prisoner misses, then all of them will be released. Assume that nobody will cheat in this. The prisoners were told about this game in advance and allowed to form strategies. What strategy should the prisoners adopt in order to get released?

उत्तर : शेवटच्या कैद्याने स्वतःच्या टोपीचा रंग ओळखण्याच्या भानगडीत पडू नये. त्याने आणि इतर कैद्यांनी खूण ठरवून ठेवावी. जर शेवटच्या कैद्याला पुढच्या टोप्यांमधील काळ्या टोप्यांची संख्या सम दिसली, तर त्याने "काळी" म्हणावे, नाहीतर ती संख्या जर विषम दिसली, तर "पांढरी" म्हणावी. जर कर्मधर्मसंयोगाने तोच त्याच्या डोक्यावरच्या टोपीचा रंग निघाला तर तो बरोबर ठरेल, नाहीतर चूक.

(अ) समजा त्याला सम संख्या दिसली आणि तो "काळी" म्हणाला. तो चूक ठरला असेही गृहीत धरू. आता पुढच्या प्रत्येक कैद्याला बरोबरच असावे लागेल.

कैदी क्रमांक २ ने काय करावे? त्याने स्वतःच्या पुढच्या कैद्यांच्या काळ्या टोप्यांची संख्या मोजावी.

(१) ती सम दिसली, तर ह्याचा काय अर्थ होईल? त्याच्या डोक्यावरची टोपी काळी नाही, हा त्याचा अर्थ. कारण ती जर काळी असती, तर त्याला दिसणारी सम संख्या + त्याची १ अशी मिळून त्याच्या आधीच्या कैद्याला विषम संख्या दिसली असती. म्हणून त्याच्या डोक्यावरची टोपी पांढरीच असली पाहिजे. मग त्याने तो योग्य तर्क करावा. उरलेल्या कैद्यांनी हे सर्व ऐकलेले आहेच. मग तिसर्‍या कैद्याने त्याच्या पुढच्या कैद्यांच्या काळ्या टोप्यांची संख्या मोजावी. समजा ती सम निघाली, तर आधीसारखेच होईल व त्याची टोपी पांढरी असेल. ती जर विषम निघाली, तर ह्याचा अर्थ त्याच्या स्वतःच्या डोक्यावरची टोपी काळी असली पाहिजे. तरच पुढे दिसणारी विषम संख्या + त्याची १ अशी मिळून त्याच्या आधीच्याला सम संख्या दिसू शकते. अशा रीतीने कैदी क्रमांक ३ सुद्धा स्वतःची टोपी बरोबर ओळखू शकतो. असे करत करत प्रत्येक कैद्याने आधीच्या माणसाला सम दिसल्या की विषम हे लक्षात ठेवून स्वतःचा रंग बरोबर ओळखावा.

(२) ती विषम निघाली, तर अगदी समांतर प्रक्रिया करता येते. ती करून बघा.

(ब) समजा त्याला विषम संख्या दिसली आणि तो "पांढरी" म्हणाला. तरीही वरचीच प्रक्रिया करता येते.

अशा रीतीने एक पहिला कैदी सोडला, तर बाकी सगळ्यांना अगदी खात्रीपूर्वक स्वतःच्या टोपीचा रंग ओळखता येतो आणि सर्वांची सुटका करून घेता येते.

Answer : The last prisoner shouldn't try to identify the colour of his hat, since he has no information to begin with. Instead, he and the other prisoners should decide a code among them. If the last prisoner sees an even number of Black hats ahead of him, he says "Black", otherwise if he sees an odd number of Black hats, he says "White". If by chance it is the same colour of his hat, he will be correct, otherwise wrong.

(A) Let's suppose he saw an even number of Black hats and said "Black". Let's also assume that he was wearing a White hat, so that he was wrong. Now every other prisoner has to be correct in order for them to be released.

What should prisoner no. 2 do? He should also count the number of Black hats in front of him.

(1) Suppose it is even. What does this mean? It implies that his hat cannot be Black, since if it were, then his predecessor would see all the even number of Black hats + 1 wore by him, an odd number of Black hats; but we know this did not happen. Hence, the colour for prisoner number 2 must be White. He guesses this correctly. The rest have heard all of this, of course. Now prisoner no. 3 should do the same. If he sees an even number of Black hats, the same logic applies and his hat must be White. If he sees an odd number of Black hats, it implies that his own hat must be Black, since only then his predecessor would see an even number of hats - the odd number seen by him + 1 on his head. So he can guess it correctly. This can go on for every prisoner.

(2) If it is odd, then a parallel argument can be given. Try it out.

(B) If he saw an odd number of Black hats and said "White". Even then the same procedure can be followed.

Thus, apart from possibly the first prisoner, everybody else can guess the colour of their hat with certainty, and they all can secure their release from jail.

==============================================

सातवी-आठवीच्या मुलांसाठी कोडं.

मायबोली गणेशोत्सव स्पर्धेतील विजेत्यांना देण्यासाठी खास सोन्याची बिस्किटे तयार करून घेतली गेली. दोन स्पर्धांमधील पहिल्या प्रत्येकी तीन क्रमांकाच्या स्पर्धकांसाठी अशी सहा बिस्किटे. ‘ऑर्डर होती प्रत्येकी दहा ग्राम वजनाच्या सहा बिस्किटांची. पण संयोजकांपर्यंत पोचली ७ बिस्किटे. मागोमाग फ़ोन. "काही गडबडीमुळे अकरा ग्राम वजनाचे एक जास्तीचे बिस्किटही तुमच्याकडे आले आहे." संयोजकच ते! अशा प्रसंगी काय करायचं हे त्यांना सुचणार नाही, तर कोणाला? त्यांनी स्पर्धेत एक ’महा’विजेता निवडून त्याला हे अकरा ग्रामचे बिस्किट द्यायचे असे ठरवले. पण हे अकरा ग्रामचे बिस्किट कोणते ते कसे शोधायचे? आणि कोणी? अर्थातच तुम्ही. पऽऽऽण आमच्याकडे फ़क्त हा तराजू आहे. वजनेही नाहीत. तरीही शोधाल म्हणताय? बऽऽरं. आणखी एक छोटीशी अट आहे. तराजू फ़क्त दोन वेळा वापरता येईल. लागा कामाला.

हिंट : एकूण तीनच बिस्किटे असती तर त्यातले एक जड बिस्किट कसे शोधले असतेत?
उत्तर : तराजूच्या दोन्ही पारड्यांत प्रत्येकी तीन बिस्किटे ठेवा. काय होईल? एक तर कोणतेतरी एक पारडे खाली जाईल किंवा दोन्ही समपातळीत राहतील.
दोन्ही पारडी समतोल राहिली तर उरलेले बिस्किट ११ग्रामचे. अन्यथा हाच प्रकार पुन्हा त्या खाली गेलेल्या पारड्यातील तीन बिस्किटांनी करा.
प्रत्येक पारड्यात एकेक बिस्किट....पुढचं सांगायला हवं का?

कोडं सुटलं. पण गंमत संपली नाही.
समजा सातऐवजी आठ बिस्किटे असली तरीही तराजूचा वापर फ़क्त दोन वेळा करून अकरा ग्रामचे बिस्किट शोधता येईल का?
आणि नऊ बिस्किटे असली तर? किंवा एकूण सहाच बिस्किटे असली तर?

Special gold biscuits were ordered as prizes for winners of competitions during the Maayboli Ganeshotsav. Three gold biscuits each for the top theee participants in two competitions. The organisers placed an order for six gold biscuits of 10 grams each. But when they opened the packet, it contained seven biscuits! Somehow an extra biscuit weighing 11 grams was included in it. The organisers decided to allot this extra coin as the prize for the grand winner. But how to identify this seventh 11 gram biscuit? And who will do it? Of course you. But we have only a balancing scale, that too without any any weights. Not just that....you can use the scale only twice. So go ahead and find the 11 gram biscuit.

Hint : What would you do, if there were only 3 biscuits?
Answer : If both sets weigh the same then the remaining biscuit weighs 11 grams. If one of the sets is heavier, then we repeat the process by comparing two of those three biscuits.....Got it?
We solved the puzzle. But the fun is not over. Had there been eight biscuits instead of seven, can we still find it using the scale twice? And what if there were nine biscuits? Or just 6 biscuits?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Group content visibility: 
Public - accessible to all site users

पहिलं त्या डॉक्टरला धोपटा जो अश्या कन्फ्युजिंग गोळ्या देतो.
मग पुढच्या गोष्टी.
Wink

बाकी आमची तिन्ही पार्सले दुसरीच्या आत आहेत त्यामुळे पास!

यप्पी .. मै पाचवी पास से तेज हू.. मला सुटली Wink

पण दुर्दैवाने शेजारच्या अन पाजारच्या घरातही कोणी पाचवी ते दहावी वयोगटात नाही, अन्यथा त्याला दिली असती सोडवायला

लोकहो, तुम्हीही हे कूटप्रश्न इथे सोडवू शकता. पालकांनी मुलांना उत्तरं दाखवायची की नाही हा सर्वस्वी त्यांचा निर्णय असेल. Happy

बरं तर,
चारही गोळ्या अर्ध्यात तोडून प्रत्येकी एक (अर्धा) भाग आत्ता खायचा. आणि तसेच उरलेले चार अर्धे भाग उद्या.

प्रश्नं मुलांसाठी, म्हणून बक्षीसंही त्यांच्यासाठी! तुम्हाला बक्षीसांसाठी उंदीरमामांची टोपी शोधून द्यावी लागेल! Happy

ओके. Happy

सगळ्यात वर गणेशोत्सव २०१५ लिहीलेलं आहे ती लिंक क्लिक केल्यास यंदाचे मुख्य पान दिसेल ज्यावर सर्व उपक्रम एकत्रित दिसतील. काही लिंक्स अजून द्यायच्या आहेत मात्र.

ओक्के

apple and orange label असलेली box open केली

case 1 :
त्यातून orange निघाले.
तर ती पेटी oranges ची
ज्यावर orange लिहिलय ती apple ची
आणि तिसरी orange and apple ची

case 2:

त्यातून apple निघाले
तर ती पेटी oranges ची
ज्यावर orange लिहिलय ती apple ची
आणि तिसरी orange and apple ची

अरे तुम्ही वरची सूचना वाचलीत नाही का?
ही कोडी आपल्या घरातल्या लहान मुलांनी सोडवायचीत.
Wink

वरती पाचवी / सहावी असं लिहीलंय ना?
ते इयत्तेबद्दल आहे.
पाल्यांच्या!
Wink

सोप्पंय. नाक लावून बघायचं सगळ्या पेट्यांना.
१. ज्यातनं संत्र्याचा वास येणार नाही ती पेटी फक्त सफरचंदांची.
२. ज्यातनं संत्र्याचा वास येईल ती उघडून बघायची. मग कळेलच फक्त संत्री आहेत की सं+स. Wink

Pages