मोजणी प्रश्न आणि बेनझीन - विज्ञानभाषा मराठी

Submitted by पायस on 25 February, 2019 - 03:21

मायबोलीवर माझा मुख्यत्वे वावर चित्रपटविषयक लिखाण करण्यावरच राहिला आहे. त्यामुळे संयोजकांकडून या उपक्रमाची माहिती मिळाल्यावर लिहिण्याची इच्छा आणि प्रथमच विज्ञानविषयक लिखाणाचे दडपण दोन्ही आले. बरेच दिवस एक विषय डोक्यात एका कोपर्‍यात पडून होता. यानिमित्ताने तो लिहित आहे. या विषयाचे सर्व श्रेय १९७९ मध्ये स्टॅनफर्डला जॉर्ज पोल्या आणि रॉबर्ट टार्जन यांनी मिळून शिकवलेल्या "इंट्रोडक्टरी कॉम्बिनेटोरिक्स" या वर्गाला (कोर्सला) जाते. या कोर्सच्या नोंदी (नोट्स) आज पुस्तकस्वरुपात उपलब्ध आहेत. बहुतेक विद्यापीठांच्या ग्रंथालयात या पुस्तकाचा समावेश असतो. जर नसेल तर तो व्हावा हे माझे वैयक्तिक मत आहे.

संशोधन करताना मला अनेकदा एका सामायिक प्रश्नाचा सामना करावा लागला आहे. अमुक अमुक गोष्टी किती आहेत? किंवा अमुक एक गोष्ट किती प्रकारे घडू शकते? इंग्रजीमध्ये यांना काऊंटिंग प्रॉब्लेम्स म्हणतात. आपण याला मोजणी प्रश्न असे नाव देऊयात. मोजणी प्रश्नांचे महत्त्व अनन्यसाधारण आहे. एक सोपे उदाहरण बघूयात,
एका वर्गात पायस (क), स्नेहा (च), प्रणित (ट), गौरी (त), अमेय (प) हे पाचजण वर्गप्रतिनिधी बनण्यास इच्छुक आहेत. पण केवळ तीनच जागा उपलब्ध आहेत. तर या पाचजणांमधून कितीप्रकारे तीन वर्गप्रतिनिधी निवडता येतील?
इथे { (क,च,ट), (क,च,त), (क,च,प), (क,ट,त), (क,ट,प), (क,त,प), (च,ट,त), (च,ट,प), (च,त,प), (ट,त,प) } अशा सर्व शक्यता एक-एक करून मांडून उत्तर दहा काढता येऊ शकते. एखादा किशोरवयीन बृहस्पती यावर हसून "(फाईव्ह चूज थ्री)", जे अनेक मोजणी प्रश्नांना लागू पडणारे समीकरण आहे, सांगून मोकळा होईल. या समीकरणानेही उत्तर दहाच मिळते. पण मग यात फरक तो काय?
पहिल्या पद्धतीला इंग्रजीत एन्युमरेशन असे म्हटले जाते. यात सर्व शक्यता एक एक करून मांडल्या जातात आणि याने अर्थातच उत्तर बरोबर मिळते. आपण याला मराठीत गणना असे नाव देऊ. जनगणना याचे उत्तम उदाहरण आहे कारण इथे प्रत्येक व्यक्तीची नावासकट नोंद (मांडणी) होते आणि याने लोकसंख्या किती याचे उत्तर मिळते.
पण शास्त्रज्ञांना (आणि खासकरून गणितज्ञांना) हे फारसे रुचत नाही. त्यामुळे ते सर्व शक्यता न मांडताही उत्तर कसे काढता येईल याचा कायम विचार करत असतात. जेणेकरून त्यांना बरोबर उत्तर कमीत कमी श्रमात मिळवता यावे. माझ्यासारख्या संगणकक्षेत्रात काम करणार्‍यांना या पद्धती माहिती असणे क्रमप्राप्त आहे अन्यथा आम्ही बनवलेले सॉफ्टवेअर वेगवान असणे दुरापास्त आहे.
या उदाहरणात आणखी एक रंगतदार गोष्ट आहे. उदा. (पायस, स्नेहा, अमेय) हे समजा वर्गप्रतिनिधी बनले तर त्याने या सहा निवडी विचारात घेतल्या जातात -
{ (पायस, स्नेहा, अमेय), (पायस, अमेय, स्नेहा), (स्नेहा, अमेय, पायस), (स्नेहा, पायस, अमेय), (अमेय, पायस, स्नेहा), (अमेय, स्नेहा, पायस) }.
या सहाही निवडींचा एक गट बनतो आणि या गटातल्या शक्यता समरुप आहेत. त्यांना वेगवेगळे न मोजता त्यांचा एकच गट मोजला पाहिजे. असे दहा गट बनून आपल्याला उत्तर दहा मिळते. मोजणी प्रश्नांमध्ये असे समरुप गट ओळखता येण्याला असाधारण महत्त्व आहे.

आता या सर्वाचा उपयोग काय? याने कोणते प्रश्न सोडवता येऊ शकतात? इथे मी पोल्याने दिलेले एक उदाहरण सांगणार आहे. बेनझीन या रासायनिक संयुगाचे नाव बहुतेक सर्वांनी ऐकलेले असते. सहा कार्बन आणि सहा हायड्रोजन अणूंनी बनलेल्या या संयुगाची उपयोजिता अफाट आहे. विज्ञानात रस घेणार्‍यांनी त्याच्या संरचनेच्या शोधामागची, केक्युलला पडलेल्या स्वप्नाची, कथाही ऐकलेली असते. पण आपण काहीतरी वेगळे बघणार आहोत. प्रश्न आहे बेनझीनची संरचना काय आहे? आज आपल्याला या संरचनेची माहिती आहे. ती अशी दिसते


चित्र १: बेनझीनची संरचना

या संरचनेचे श्रेय केक्युलला दिले जाते. फ्रेडरिक (फ्रीडरिख्) ऑगस्ट केक्युल हा एकोणीसाव्या शतकातील एक जर्मन रसायनतज्ञ होता. एकोणीसाव्या शतकात बेनझीनचे रासायनिक सूत्र (C6H6) ठाऊक असले तरी त्याची संरचना अज्ञात होती. १८६५ मध्ये केक्युलने आपले संशोधन प्रकाशित करताना बेनझीन रेणू हा षटकोनी असल्याचा दावा केला. त्याला पुष्टी देणारे संशोधन त्याने पुढील ७ वर्षांत टप्प्या टप्प्याने प्रकाशित केले. हे रिसर्च पेपर्स व त्याचा पोल्याने वर्गात उदाहरण म्हणून केलेला वापर रंजक आहे. त्याकाळी बेनझीनच्या संरचनेविषयी अनेक सिद्धांत होते. मग केक्युलच्या सिद्धांताची सिद्धता काय? या सिद्धतेचा एक भाग मोजणी प्रश्नांशी संबंधित आहे. सिद्धतेचा हा भाग समसूत्रींच्या (isomer) मदतीने दिला आहे. या भागाचा स्वैर उहापोह पुढीलप्रमाणे

समजा बेनझीनच्या सहा हायड्रोजन (H) अणूंपैकी एक अणू काढून त्याजागी क्लोरिनचा (Cl) एक अणू बसवला तर क्लोरोबेनझीन (C6H5Cl) तयार होते. त्याची संरचना अशी दिसते


चित्र २: क्लोरोबेनझीन

इथे सहज लक्षात येते की क्लोरिनच्या अणूला सहा जागांचे पर्याय आहेत पण सर्व संरचनात्मक दृष्ट्या सारख्याच दिसतात. जर त्या सारख्या दिसल्या नाहीत तर समसूत्री तयार होतात. समसूत्री (isomer) म्हणजे असे दोन रेणू ज्यांचे रासायनिक सूत्र समान आहे पण संरचना वेगळ्या आहेत. मोजणी प्रश्नांच्या भाषेत हे सहा पर्याय समरुप असून त्यांचा एकच गट मोजला पाहिजे. एकोणीसाव्या शतकातील रसायनतज्ञांना हे ठाऊक होते की क्लोरोबेनझीनचा एकच समसूत्री असतो, म्हणजे त्याची संरचना एकाच प्रकारची असते. जर तुमच्या बेनझीन संरचना सिद्धांताने क्लोरोबेनझीनकरिता एकापेक्षा अधिक समसूत्रींचे भाकित केले तर अर्थातच तो सिद्धांत चुकीचा ठरतो. आता हाच तर्क पुढे नेऊयात.

ब्रोमोक्लोरोबेनझीन (BrC6H4Cl) विचारात घेऊयात. यासाठी एक हायड्रोजनचा अणू काढून त्याजागी क्लोरिनचा एक अणू बसवला तसेच हायड्रोजनचा आणखी एक अणू काढून त्याजागी ब्रोमिनचा (Br) एक अणू बसवला. याच्या तीन समसूत्री बनतात.


चित्र ३: ब्रोमोक्लोरोबेनझीन समसूत्री १


चित्र ४: ब्रोमोक्लोरोबेनझीन समसूत्री २


चित्र ५: ब्रोमोक्लोरोबेनझीन समसूत्री ३

केक्युल व इतर रसायनतज्ञांना प्रयोगांनी हे सिद्ध करता येत होते की ब्रोमोक्लोरोबेनझीनच्या तीन समसूत्री असतात. केक्युलने षटकोनी संरचनेचे गृहीतक मांडून ब्रोमोक्लोरोबेनझीनच्या किती समसूत्री असतील हे मोजण्याचा प्रयत्न केला. पुन्हा एकदा इथे योग्य ते समरुप गट मांडून मोजणी प्रश्न सोडवणे क्रमप्राप्त आहे. आधी आपण थेट शक्यता मांडल्या तर पहिल्या हायड्रोजन अणूसाठी सहा पर्याय तर दुसर्‍यासाठी पाच पर्याय मिळून ६ x ५ = ३० शक्यता मिळतात. एव्हाना आपल्याला ठाऊक झाले आहेच की या शक्यतांचे समरुप गट पाडल्यानंतरच मोजणी प्रश्न सुटेल. या ३० पैकी १२ शक्यतांचा एक गट बनतो (समसूत्री १), १२ शक्यतांचा दुसरा गट बनतो (समसूत्री २) आणि उर्वरित ६ शक्यतांचा तिसरा गट बनतो (समसूत्री ३). त्यामुळे षटकोनी संरचनेसाठी याचे उत्तर येते तीन जे प्रयोगांच्या निरीक्षणांशी जुळते.

षटकोन वगळता त्याकाळी प्रचलित इतर पर्यायांपैकी कोणत्याच संरचनेने हे उत्तर तीन येत नव्हते. त्यामुळे आपसुकच इतर बहुतांश सिद्धांत फोल ठरले. पोल्या आपल्या उदाहरणात इतर संरचनांमधल्या समसूत्री मोजायला लावतो आणि सिद्धतेचा हा भाग गृहपाठ म्हणून पूर्ण करायला लावतो. मी पोल्याच्या पुस्तकाची लिंक लेखाच्या शेवटी दिली आहे. तिथे हा गृहपाठाचा प्रश्न आणि पोल्याचे उत्तर वाचता येईल. अर्थातच याने केक्युलची सिद्धता पूर्ण होत नाही पण इतर सिद्धांतांपेक्षा त्याचा सिद्धांत बरोबर असण्याची शक्यता अधिक असल्याचे सिद्ध झाले. याने त्याच्या षटकोन सिद्धांताला पुष्टी मिळाली आणि पुढे त्यात सुधारणा होऊन बेनझीनच्या संरचनेचे सुधारित रुप १८७२ मध्ये प्रचारात आले. या सिद्धांताची पूर्ण सिद्धता तसेच कालांतराने त्यात होत गेलेल्या सुधारणांचा इतिहासही अतिशय रोचक आहे. या सिद्धांताचे सर्वमान्य स्वरुप प्रचारात यायला विसावे शतक उजाडावे लागले. १९२८ साली लायनस पॉलिंगने या विषयावर एक प्रसिद्ध शोधनिबंध लिहून हे स्वरुप मांडले. पण या सर्वाची सुरुवात झाली १८६५ मध्ये एका मोजणी प्रश्नाने!

मोजणी प्रश्नांची उपयोजिता अमर्यादित आहे. किंबहुना ते एक अतिशय उपयुक्त असे मूलभूत साधन आहे. या लेखाद्वारे त्यांची नव्याने ओळख करून देण्याचा हा अल्पसा प्रयत्न!

* सर्व चित्रे विकिपिडियावरून साभार
* "इंट्रोडक्टरी काँबिनेटोरिक्स : जॉर्ज पोल्या, रॉबर्ट टार्जन व डोनाल्ड वूड्स - अ‍ॅमॅझॉनवर उपलब्ध

Group content visibility: 
Public - accessible to all site users

पायस, छान लिहीलेय. पण काही सुचवावेसे वाटते, राग मानू नका --
१. शीर्षक बुचकळ्यात टाकणारे आहे. पर्याय आत्ता सुचत नाही पण बदलता आले तर बघा.

२. विषय छान आहे पण थोडा अजून सोपा (पॉप्युलर सायन्स पद्धतीने उदाहरण देऊन ) करता येईल का? गणित, विज्ञान बापरे! वाटणार्‍यांना हे असं असतं होय? वाटेल असे.

३. ब्रोमोक्लोरोबेनझीन ६*५ शक्यता --- चित्र रोटेट करून सगळ्या शक्यता चित्ररूपात दाखवून / ट्रूथ टेबल स्वरूपात लिहून दाखवल्या तर? मग समरूप एका रंगात. शेवटी सर्वस्वी वेगळ्या फक्त ३ उरतात हे कळेल

४. किंवा क्लोरीन ब्रोमीन लगतच्या जागांवर, एकाआड एक, दोघांमध्ये २ जागा सोडून उभे राहिले तर षटकोनाच्या सहा कोपर्‍यांवर मिळून किती तर्‍हेच्या रचना मिळतील. त्यातील सर्वस्वी वेगळ्या किती असतील -- असे उलगडता आले तर?

वेळखाऊ काम आहे, कामाचा आठवडा सुरू झालाय. बघा तुम्हाला वेळ असेल तसे.

धन्यवाद ह्या लेखाकरता. आवडला.
मला लेख दोन वेळा वाचायला लागला. बहुदा काही शब्द मराठी शब्दांसमोर कंसात इंग्रजी शब्द दिले असता चटकन कळेल असे वाटते आहे.

खूपच रोचक गोष्ट आहे! बेंझिनची रचना षटकोन आहे हे अश्या प्रकारे सिद्ध झाल्याचे माहित नव्हते. खूप आभार. मला विषय खूपच आवडला.
वर कारवी म्हणतात, त्याप्रमाणे आणखी चित्र वगैरे देता आली असती तर बरे झाले असते. तरी आणखी काही वाचक त्या शक्यतांच्या गणिताबाबत गोंधळले असल्यास मी येथे खाली थोडे स्पष्टीकरण देतो. ते लेखाला पुष्टी देईल अशी आशा आहे.

१. ब्रोमोक्लोरोबेनझीनच्या ६*५ शक्यता कश्या? - बेनझिनच्या षटकोनी रचनेत ६ टोकांना ६ हायड्रोजन आहेत. त्यामुळे त्यातला १ हायड्रोजन काढून तेथे क्लोरीन बसवायचा झाला तर तो ६ पैकी कोणत्याही टोकावर करता येईल - अशा ६ शक्यता होतात. आता असे पहा, की समजा एका ठिकाणी क्लोरीन घातला, तर उरले ५ हायड्रोजन. आता त्यातल्या एका ठिकाणी ब्रोमीन घालायचा म्हणजे ५ शक्यता होतात. थोडक्यात, एका जागी क्लोरीन असताना ५ ब्रोमीनच्या शक्यता, अश्या ६ क्लोरीनच्या शक्यता; म्हणजे ६*५=३० एकूण शक्यता होतात.

२. ३० पैकी १२ शक्यतांचा एक गट बनतो (समसूत्री १), १२ शक्यतांचा दुसरा गट बनतो (समसूत्री २) आणि उर्वरित ६ शक्यतांचा तिसरा गट बनतो (समसूत्री ३).... हे गट कुठले? आणि १२/१२/६ शक्यता कश्या? - हे ३ गट पायसने ३ समसूत्रींच्या आकृती काढून दाखवले आहेत. आता (अ) समसूत्री १ घ्या. त्यात क्लोरीन आणि ब्रोमीन एकमेकां-लगतच्या जागांवर आहेत. ते तसेच्या तसे षटकोनाच्या ६ वेगवेगळ्या टोकांवर हलवता येऊ शकतात. म्हणजे ह्या ६ शक्यता झाल्या. आता क्लोरीन आणि ब्रोमीनची जागेची अदलाबदल केली, तर तश्या आणखी ६ शक्यता झाल्या, म्हणजे एकूण १२. (ब) वरीलप्रमाणे क्लोरीन पासून मधे एक टोक सोडून पुढच्या टोकावर ब्रोमीन घेतल्यास समसूत्री २ तयार होते. पुन्हा हे तसेच्या तसे ६ वेगवेगळ्या प्रकारे एका टोकावर क्लोरीन आणि त्यापुढे १ टोक सोडून ब्रोमीन ठेवून करता येईल. आणि त्यांची जागांची अदलाबदल करून आणखी ६ असे १२ होतात. (क) षटकोनाच्या विरुद्ध टोकांवर क्लोरीन आणि ब्रोमीन. याच्या केवळ ६च शक्यता होतात, कारण इथे जागांची अदलाबदल केली तरी त्या आधीच्या ६ शक्यतांमध्ये ती शक्यता आधीच पकडली गेली असल्याचे लक्षात येईल.

Quantum computers मध्ये काँबिनेटोरिक्स वापरले जाते का? साधारण असेच एक उदाहरण एका लेखात वाचले होते quantum कॉमुटर बद्दल पण ते फार नीट समजले नव्हते.

लेख उत्तमच!

अजून एम्समध्येच आहेस का?

सर्व वाचकांचे आभार Happy अशा आगळ्या उपक्रमाचे आयोजन केल्याबद्दल संयोजकांचे विशेष आभार तसेच अभिनंदन!

शीर्षक बुचकळ्यात टाकणारे आहे >> शीर्षकात बदल केला आहे. आशा आहे याने लेखाचा मुद्दा स्पष्ट होण्यास मदत व्हावी.

Quantum computers मध्ये काँबिनेटोरिक्स वापरले जाते का? >> हो. कॉम्बिनेटोरिक्स हे संशोधनात उपयुक्त असे अतिशय मूलभूत गणिती साधन आहे. मी लेखात नमूद केलेल्या समरुप गट पाडणे या क्रियेला इंग्रजीत formation of equivalence classes असेही म्हणतात. यालाच संबंधित एक गणिती क्रिया असते homomorphism. या संकल्पना तसेच मूळात मोजण्याची क्रिया अतिशय मूलभूत असून जवळपास सर्वच क्षेत्रांत गणिती बैठक पुरवायला यांची मदत होते.

अजून एम्समध्येच आहेस का? >> हो.

आणखी चित्र वगैरे देता आली असती तर बरे झाले असते. >> शंतनूला याच्या स्पष्टीकरणाबद्दल धन्यवाद! याने लेखाला नक्कीच पुष्टी मिळाली आहे. इथे माझी ही चित्रे न देण्यामागची भूमिका विशद करू इच्छितो.

माझ्यामते बव्हंशी पॉप्युलर सायन्स लिखाण (केवळ मराठीच नव्हे, इंग्रजीसुद्धा) हे विश्वकोशातल्या उतार्‍यांसारखे दिसते. यात गैर असे काहीच नाही कारण त्या प्रकारच्या लिखाणाचेही आपले एक स्थान आहे. पण याने वाचकाला विषय समजतोच असे नाही. त्यापेक्षा वाचकांसमोर लेख एखाद्या कोड्याप्रमाणे मांडून त्याला ते कोडे सोडवण्याची संधी उपलब्ध करून दिल्यास त्यांना तो विषय अधिक समजतो हे माझे ठाम मत आहे. त्यामुळे उदाहरणातल्या काही पायर्‍या गाळणे कधी कधी श्रेयस्कर ठरते.
या प्रकारच्या लेखांचा वाचकवर्ग सीमित असल्याची मला पूर्ण कल्पना आहे. हे मत माझ्या अननुभवातून तयार झाल्याची शक्यताही मी मान्य करायला तयार आहे. पण विज्ञानासाठी अतिशय आवश्यक असे क्रिटिकल थिंकिंग प्रोत्साहित करण्यास हे लेख अधिक उपयुक्त ठरतात हा माझा वैयक्तिक अनुभव आहे.

त्यापेक्षा वाचकांसमोर लेख एखाद्या कोड्याप्रमाणे मांडून त्याला ते कोडे सोडवण्याची संधी उपलब्ध करून दिल्यास त्यांना तो विषय अधिक समजतो >> १११

अतिशय छान लेख
रोचक माहिती

लेख छान आहे,.
शीर्षक मात्र अजिबात पटलं नाही.
Why is Benzene planar and hexagonal या प्रश्नाचं उत्तर combinatorics हे नाही.

Why is Benzene planar and hexagonal या प्रश्नाचं उत्तर combinatorics हे नाही. >> मान्य. पुन्हा एकदा मूळ शीर्षक दिले आहे. समजण्यास सोपे शीर्षक देण्याच्या नादात ही चूक झाली हे लक्षात आले नाही.

मी डायरेक्ट इयत्ता आकरावीची सुट्टी, एम. प्रकाश सरांच्या क्लास मधेच पोचलो.. फार वर्षांनी combinatorics बद्दल वाचले.. घरी कुठेतरी IMO चे पुस्तक असेल तर शोधून परत एकदा वाचायला पाहिजे..

जमल्यास असाच एखादा लेख pigeon hole theory बद्दल पण लिहणार का?

Why is Benzene planar and hexagonal या प्रश्नाचं उत्तर combinatorics हे नाही.
>>

माझाही पहिल्यांदा लेख वाचल्यावर हाच समज झाला होता. बेंझीनचे तीनच समरूप मिळाले असले तरी इतर काही खूप चंचल म्हणून मिळायला अवघड समरूप असतील अशी शक्यता तेव्हा असेल (जेव्हा बेंझीन षटकोनी आहे हे नक्की नव्हते तेव्हा). मात्र याच लेखात पुढे हे वाक्य येते त्याने ही शंका फिटली.
>>
अर्थातच याने केक्युलची सिद्धता पूर्ण होत नाही पण इतर सिद्धांतांपेक्षा त्याचा सिद्धांत बरोबर असण्याची शक्यता अधिक असल्याचे सिद्ध झाले. >>>

भारी ! मस्त लेख .. आवडला . बेन्झीन आवडीचा होता आणि सोप्पा पण वाटायचा .
लेख वाचला आणि खूप दिवसांनी एकदम कॉलेज चे केमेस्ट्री चे लेक्चर्स आठवले !