गट्टी गणिताशी, मोदक दुप्पट खाशी

Submitted by भास्कराचार्य on 14 September, 2021 - 22:40

हिमालयाच्या पर्वतशिखरांवर सोनेरी धुकं चमकत होतं. कैलास आणि गुर्लमांधात्याची शिखरं मावळतीकडे झुकणार्‍या उन्हात न्हाऊन निघाली होती. मात्र अश्या उन्हात शांत आरामाऐवजी भगवान शंकराच्या घरी मात्र लगबगीचं वातावरण होतं. श्रीगणेश लवकरच त्यांच्या वार्षिक वारीला निघणार होते ना! सामानाची बांधाबांध किती 'झाली' म्हटलं, तरी शेवटपर्यंत काही ना काहीतरी असतंच. देवी पार्वती आपल्या बाळाला नेहमीप्रमाणे सूचना देत होती. "मोदक जास्त खाऊ नकोस हो!" "पावसात जास्त भिजू नकोस!" "मूषकाची काळजी घे." वगैरे. भगवान शंकरही कौतुकाने आपल्या मुलाच्या सोहळ्याची तयारी बघत होते. श्रीकार्तिकेय आणि मयूर मात्र इंद्रधनुष्याच्या पार्श्वभूमीवर नर्तनासाठी गेले होते. मूषकाची इकडेतिकडे तुरूतुरू पळापळ चालू होती.

हळूहळू सारं जरा थंडावलं. आई-बाबा जरा त्यांचं काम बघायला लागले, आणि श्रीगणेश आणि मूषक थोडा वेळ दम खायला म्हणून शांत देवासारखे म्हणतात तसे उदाहरणार्थ बसले. आईने लाडाने रांधलेल्या मोदकांचा फराळ होताच!

"व्वा! काय सुंदर जमले आहेत मोदक रे मूषका!" गणपती समाधानाने उद्गारला.

"हो देवा! असं वाटतंय की संपूच नयेत! एकामागोमाग एक खातच रहावेत." मूषक भरल्या तोंडाने आणि भरल्या मनाने म्हणाला.

"खरंच आईच्या हातच्या मोदकांची चव काही वेगळीच. पण माझे भक्तही किती किती छान छान प्रसाद आणतात माझ्यापुढे! मस्त मजा येते."

"हो देवा, माझीही चैन होते. ह्या वर्षी किंवा गेल्या वर्षी म्हणा, किती संकटं आली तरी भक्तगण तुझ्या सरबराईमध्ये कधीही काहीही कमी पडू देत नाहीत. तरी देवा, असेही काही लोक असतील, ज्यांना तुझं अजून खूप करायची इच्छा असेल. पण परिस्थितीमुळे ते होऊ शकत नसेल." मूषक थोडासा खिन्न होत म्हणाला.

"खरं आहे मूषका तुझं. कुठल्याही भक्ताने माझ्यापुढे आणलेला कोणताही प्रसाद माझ्यासाठी प्रेमाचा आणि गोडच असतो. एकविसशे मोदक असतील काय किंवा एकवीस साखरफुटाणे असतील तरी काय! भक्तीचं आणि भावाचं मोल माझ्यासाठी आहे. माझ्या भक्तांनाही मी हेच सांगतो. माझ्यापुढचा प्रसाद दिसायला कमी झाला, तरी माझे भक्त एकमेकांना मदत करत असतील, सहानुभूती आणि सहवेदनेने एकमेकांसाठी धावून जात असतील, सुखाने एकत्र नांदत असतील, तर तो माझ्यासाठी प्रसादच नाही का?" गणेश गंभीर होऊन सांगत होता.

"खरं आहे. शेवटी एकमेकांना मदत करणे, गुण्यागोविंदाने सर्वांनी नांदणे हेच महत्त्वाचं. पण तरी, काहीतरी चमत्कार त्यांच्याकडे असायला हवा होता. एका मोदकाचे दोन मोदक करू शकायचा, नाहीतर छोट्याश्या मोदकाचा मोठ्ठा मोदक व्हायचा चमत्कार!" मूषकमामाच्या कल्पनेच्या भरार्‍या उंच निघायला लागल्या.

"अशी काही जादू नसते, हे तर तुला माहितीच आहे. पण गंमत म्हणजे माणसांच्या भौतिक जगात असं काही होत नसलं, तरी गणिताच्या जगात तू म्हणतोस ते होतं बरं का! गंमतच आहे ती."

"म्हणजे .. नक्की काय होतं?! मला काही नीट कळलं नाही देवा."

"अरे तू म्हणतोस तेच. म्हणजे एका आकारमानाचा लाडूसारखा गोल असेल, तर त्यापासून त्याच आकारमानाचे दोन गोल निर्माण करता येतात. नाहीतर मटाराच्या दाण्याएवढा गोल असेल, तर तो सूर्याएवढा मोठासुद्धा करता येतो!" गणेश उत्साहाने सांगायला लागला.

"पण हे सगळं गणिताच्या जगात आहे ना? मग त्यात काय मोठंसं. तिथले आकार तर कसेही खेचता, ताणता येतात. ते अनंतप्रकारे लवचिक असतात. मग काय सरळ ताणायचं त्या गोलांना आणि कितीही मोठं करायचं."

"अरे तसं नाही. ते तर होऊच शकतं. त्यात काही मजा नाही. पण इथे मजा अशी आहे, की त्या सुरवातीच्या गोलाचं अश्या भागांमध्ये विभाजन करता येतं, की त्या प्रत्येक भागाला फक्त विशिष्ट प्रकारे गोल फिरवलं, आणि परत विशिष्ट प्रकारे जोडलं, की दोन गोलांमध्ये रूपांतर होतं!"

"छे:! असं कसं होऊ शकेल देवा? नुसतं गोल फिरवण्याने आकारमान बदलत नाही ना? मग आकारमान दुप्पट कसं होईल?" मूषकराजे गोंधळलेच जरा.

"अगदी बरोबर बोललास. जर आधीच्या भागाला आकारमान असेल, तर ते गोल फिरवण्याने बदलत नाही, हे अगदी बरोबर. माणूस स्वतःभोवती 'घालीन लोटांगण वंदीन चरण" म्हणत गरागरा फिरल्याने त्याचं आकारमान बदलत नाही. खूप केलं तर ढेरी जरा कमी होऊ शकते पण त्याची कारणं वेगळी आहेत. पण आधीच्या भागाला आकारमानच नसेल तर?" गणेशाच्या डोळ्यांत मिश्कील हसू होतं.

"म्हणजे? तुला असं म्हणायचंय की आकारमानच नसलेले संच असतात?!" मूषक बुचकळ्यातच पडला होता.

"हो. आपण जे नेहमी आकार बघतो, चौरस, आयत, वगैरे, त्या सर्वांना आकारमान असतं. पण गणितज्ञांची हीच गंमत आहे. ते सर्व शक्यतांचा विचार करतात आणि त्यांची प्रतिभा कधीकधी अशी थक्क करणारी झेप घेते, की मलासुद्धा मजा वाटते. आकारमान असलेल्या गोलाचं अश्या भागांमध्ये विभाजन करायचं, की ज्यांना आकारमानच नसतं, आणि त्यांना फक्त गोल फिरवून पुन्हा जोडलं, की दुप्पट आकारमान तयार होतं! दुप्पटच काय, कितीही पट आकारमान ह्याप्रकारे करता येऊ शकतं!"

"पण हे म्हणजे होतं कसं देवा? जरा अजून सांग ना!"

"अरे ही सगळी गंमत आहे ती अनंताची. एका गोलामध्ये अनंत बिंदू असतात हे आपल्याला माहितीच आहे. दोन गोलांमध्येही तितकेच आणि तेवढेच अनंत बिंदू असतात! माणसाला वाटू शकेल, की ते दुप्पट असतील, पण हे पटींचं गणित अनंताला तसंच्या तसं लागू होत नाही. एक अनंत हा त्याच्या स्वतःच्याच छोट्या भागाएवढाच असू शकतो!"

"हो, हे तू मला सांगितलं आहेस आधी. छोट्याश्या सीमित रेषाखंडामध्ये आणि मोठ्ठ्या असीमित रेषेमध्ये एकाच संख्येचे बिंदू असतात की! कसलं जबरदस्त आहे हे. ते इथे कसं वापरलं जातं?"

"तुला सगळं सांगत नाही इथे, पण चित्र दाखवतो. गोलाच्या बिंदूंचं एका विशिष्ट पद्धतीने एखाद्या रांगोळीत रूपांतर होतं, असंच समज."

anantachi-rangoli.png

"व्वा! किती छान रांगोळी दिसतेय ही!"

"हो, पण लक्षात ठेव, इथे जरी ही रांगोळी अनंत दिसत नसली, तरी तिचे बिंदू अनंत आहेत बरं का! त्यामुळे तिचे भाग हे त्या रांगोळीएवढेच मोठे आहेत!"

"म्हणजे तू मला ते स्वसमानतेबद्दल सांगितलं होतंस, तसंच की हे! छोटा भाग आणि मोठी आकृती सारखीच दिसते."

"अगदी बरोबर! एकदा हे कळलं, की पुढची गंमत तुला दाखवतो बघ."


Site Logo

"व्वा! एकाचे दोन झाले! अनंताची कमाल! अद्भुत!" मूषक प्रसन्न होऊन उद्गारला.

"आहे की नाही मजा? स्टेफान बानाक आणि आल्फ्रेड तार्स्की ह्या दोन पोलिश गणितज्ञांनी ही कमाल शोधून काढली. जेउसेप विताली ह्या इटालियन गणितज्ञाच्या आणि फेलिक्स हाऊसडॉर्फ ह्या जर्मन गणितज्ञाच्या कामावर आधारित हा सिद्धांत त्यांनी १९२४ मध्ये प्रसिद्ध केला."

"जवळपास १०० वर्षे लोटली की म्हणजे ह्याला!"

"हो. त्या काळात गणितज्ञांच्या जगामध्ये ह्या सिद्धांताने चांगलीच खळबळ माजली होती." गणेश हसूनच म्हणाला.

"म्हणजे गणितज्ञांनाही ही जादू पटली नव्हती?"

"अनेकांना हे पटलं नव्हतं. पण सिद्धतेमध्ये काहीच तार्किक दोष नाही, हे सहज दिसत होतं. मग ज्यांना हे पटलं नाही, त्यांनी ह्यात वापरलेल्या गृहीतकांवर लक्ष केंद्रित केलं. बर्‍याच गृहीतकांवर शंका घेण्यासारखं काही नव्हतं. पण एक गृहीतक होतं ते म्हणजे 'निवडीचं गृहीतक'. अनंत संचांशी ह्याचा संबंध येतो. ह्या गृहीतकाची अंतःप्रेरणा माणसाला येणं जरा कठीण आहे. ह्या गृहीतकाच्या सत्यासत्यतेबाबत बरीच चर्चा झडली. आणि शेवटी 'निवडीच्या गृहीतकाला मानणारे' आणि 'निवडीच्या गृहीतकाला न मानणारे' असे गटच पडले. अशी गणितामध्ये एक प्रकारची क्रांतीच ह्या सिद्धांताने आणली. बरेचसे गणितज्ञ मात्र ह्या गृहीतकाला खरं मानूनच चालतात."

"खरं आहे. शेवटी प्रत्येकाला निवडीचं स्वातंत्र्य आहेच." उंदीरमामा हसून म्हणाले. गणेशही छानसं हसला.

"म्हणजे देवा, तू शून्यातून ह्या विश्वाची निर्मिती केलीस, तरी ही माणसंही काही कमी नाहीत तर! तीही अशी एकातून दुसर्‍याची निर्मिती करू शकतात की!"

"खरं आहे मूषका. मानवाच्या प्रतिभेला आणि इच्छाशक्तीला आभाळसुद्धा ठेंगणं पडेल. म्हणून तर मला प्रतिवर्षी जाऊन माझ्या भक्तांची विचारपूस करायला आवडते. त्यांचा उत्साह बघून मलाही नव्याने हुरूप येतो, हे तुला सांगायला नकोच!"

"चल तर मग, ह्यावर्षीही ते आपल्याला लवकर बोलावतायत. त्यांचा मान ठेवूया! तसंही इथले मोदक आपण संपवलेच आहेत!"

मोठ्याने हसत गणेश आणि मूषक दोघेही भक्तांकडे यायला आणि अजून मोदक खायला निघाले.

- भास्कराचार्य

Group content visibility: 
Public - accessible to all site users

खूप छान. संवादरूपात असल्यामुळे वाचायला मजा आली.

सेल्फ सिमिलॅरिटीला मी पण पूर्वी स्व-समानता हा शब्द वापरत होतो, पण त्यापेक्षा स्वसाधर्म्य हा जास्त चपखल आहे. समानता ही कॉन्ग्रुअन्स दाखवते असं माझं आणि आणखी काही गणिती मित्रांचं मत पडलं.

ह्या निमित्ताने माझ्याही ह्या विषयावरच्या लेखाची रिक्षा बाहेर काढतो फिरवायला Happy

लेख आवडल्याचं आवर्जून कळवल्याबद्दल सगळ्यांचे आभार मानतो. Happy तसंच आपल्या मायबोली गणेशोत्सवात हा लेख यायची संधी दिल्याबद्दल अ‍ॅडमिन, वेबमास्तर, आणि संयोजक ह्यांना खूप धन्यवाद. विशेषतः ते अ‍ॅनिमेशन लेखात घेता येईल अशी सोय केल्याबद्दल मी अ‍ॅडमिन आणि वेबमास्तरांचा ऋणी आहे. Happy

Fractals na?

अनिता, ती रांगोळी फ्रॅक्टल आहे हे खरं आहे. गोलाचे झालेले भाग मात्र तसे दिसत नाहीत. ते भाग असं चित्र काढून दाखवणं जरा कठीणच आहे. त्या भागांचा ह्या रांगोळीशी जवळचा संबंध आहे, ही त्या गणितज्ञांची अंतर्दृष्टी होय. Happy

Ok.

भन्नाट आहे हा पराडॉक्स! तू फारच सोप्या भाषेत लिहिलं आहेस.
हलत्या चित्रामुळे मजा आली. पण फार पटकन संपला लेख. निवडीच्या गृहितकावर आणखी वाचायला आवडलं असतं.

अ‍ॅनिमेशन वरून साधारण अंदाज आला असे वाटले पण गणिताशी संबंध अनेक वर्षांपूर्वी सुटल्यामुळे त्यातले बाकी गणित काही झेपले नाही! अशा विषयावर सोप्या भाषेत लिहिणे हे अवघड काम असणार, त्याबद्दल तुझं कौतुक भा! लेखाचे कौतुक करण्याची पात्रता नाही Happy

मै, तुझ्या कौतुकाबद्दल खूप धन्यवाद. Happy

गणिताच्या विद्यार्थ्यांनाही ते पटकन सगळं समजायला कठीणच जातं. पण एक साधा अंदाज आला, तरी पुरे आहे. त्या हलत्या चित्राची कल्पना डोक्यात आली, (आणि तीच खरी महत्त्वाची आहे) ती सर्वांना पटकन दिसेल आणि आवडेल, असं वाटलं, म्हणून म्हटलं गप्पागप्पांमध्ये काही लिहिता येतंय का बघू. Happy अश्या चित्रांमुळे गणितात जरा गोडी वाटू शकते असा माझा अनुभव आहे.

अमित, निवडीच्या गृहीतकावर भरपूर काही लिहिण्यासारखं आहे. पण गणेशोत्सवात म्हटलं जरा हलकंफुलकंच ठेवू वातावरण. पुन्हा कधीतरी सविस्तर लेख त्यावर लिहायला मलाही आवडेल. हे सारेच विषय किचकट वाटतात, म्हणून जरा बिचकतच हे संवादरूपात लिहिलं जमतंय का म्हणून. निरु, मानव, किल्ली आणि तुम्हा सर्वांच्याच प्रतिसादांतून वाटतंय की प्रयत्न बर्‍यापैकी जमून गेला असावा ..

भास्कराचार्यांकडे क्लिष्ट विषय चुरचुरित पणे विषद करण्याचे कसब आहे. मस्त लेख हे सांगणे न लगे !
जे पिंडी तेच ब्रह्मांडी !

आत्ता थोडं शोधुन वाचलं. काही न ताणता, आकार न बदलता फक्त फिरवुन वाटाण्याचा सूर्य हे अजुन झेपलेलं नाही, आणि बरेच प्रश्न आहेत. थोडं आणखी समजुन विचारेनच.
फ्रॅक्टल्स बद्दल माहित होतं, पण गोलाचे असे असंख्य गोल हे अजुन पचलेलं नाही. अजुनही कॉन्झर्वेशन ऑफ मॅटर, घनता... असेच विचार (माझ्यातील वैचारिक जडत्त्वाने असतील) येत आहेत. ब्लॅक होल मध्ये याचा काही वापर असेल का?

ईबांच्या प्रतिसादाला नि पुढे येऊ शकणार्‍या प्रत्येक प्रतिसादाला मम म्हणतो. तेव्हढाच माझ्या प्रतिसादाच्या वाटाण्याचा सूर्य Wink

मती गुंग करणारा प्रकार आहे. ओळख करुन दिल्याबद्दल आभार. त्या लाल, नीळ्या आणि हिरव्या फंक्शनचे डोमेन व रेंज भयंकर डायनॅमिक आहेत. म्हणजे जसा जसा व्हर्टिकल, हॉरिझाँटल अ‍ॅक्सिस बदलतो तसे ती फन्क्शन्स , त्या त्या अ‍ॅक्सिसभोवती आपली आयडेंटीटी कायम ठेवत आहेत.

लेख आवडला. ॲनिमेशनमुळे थोडंसं कळल्या सारखं वाटलं. अर्थात केवळ संकल्पना त्यामागचं गणित कळण्याची शक्यता कमीच आहे!
ते ॲनिमेशन पाहून बॅक्टेरिया किंवा यीस्ट मध्ये जे बायनरी फिशन पद्धतीने cell division होते ते आठवले! It's an asexual form of reproduction so the daughter cells are identical.
पूर्वी विंडोजवर अशा प्रकारचे design असलेले screen saver पण पाहील्याचे आठवले!

अमित, नाही. जिआयएफमध्ये तसं केलंय ते फक्त आपल्या डोळ्यांना छोट्या भागातली आणि मोठ्या भागातली सिमिलॅरिटी कळावी म्हणून. मुळात त्या रांगोळीच्या 'आकाराचा' आणि अंडरलायिंग गोलाच्या आकारमानाचा काही संबंध नाही. जिआयएफमध्ये होतंय ते फक्त त्या छोट्या भागाकडे आपण 'झूम' करून बघतोय अशी कल्पना आहे.

आत्ता थोडं शोधुन वाचलं. काही न ताणता, आकार न बदलता फक्त फिरवुन वाटाण्याचा सूर्य हे अजुन झेपलेलं नाही, आणि बरेच प्रश्न आहेत. थोडं आणखी समजुन विचारेनच. >>> अमितच्या या प्रतिक्रियेसारखेच मलाही वाटले. या वरच्या "झूम" वरून थोडेफार आणखी समजले. मी ते दोन विभागलेले आकार मोठे होत आहेत ते झूम मुळे का असे विचारणारच होतो. तो भाग समजला. पण गोल फिरवण्याची भानगड अजूनही समजली नाही. आता त्याबद्दल डोक्याला थोडा खुराक द्यावा लागेल Happy

सुंदर रीतीने समजावले आहे एकदम!

अजुन एक रच्याकने: एका पायरीत (तुकडे आणि गोल फिरवणे इ.) एका गोलाचे मूळ आकाराचे दोनच गोल बनतात का जास्त ही बनू शकतात? पहिल्या पायरी नंतर रिकर्सिव्हली जास्त बनतीलच, पण पहिल्यांदाच अनंत बनतील का?
आणि सगळे सारख्या आकाराचेच बनतील असं काही आहे का विविध आकाराचे बनवायचे तर ते ही बनवू शकू?

शंतनूंनी त्यांच्या लेखांची लिंक दिली आहे प्रतिसादांत - ती पाहा फा आणि अमित.

सॉरी भा, तुझा धागा हायजॅक नाही करत - पण हे थोडं आणखी विस्ताराने आलंय त्या लेखांत, म्हणून. Happy

अमित, अगदी योग्य प्रश्न आणि विचारांची दिशा! एकदम एखाद्या गणितज्ञासारखे खरं तर.‌ दोन्ही प्रश्नांची उत्तरं 'हो' अशीच आहेत. पहिल्यांदाच अनंत गोल बनवणंही शक्य आहे. कुठल्याही 'रिझनेबल' आकारापासून इतर कुठलाही 'रिझनेबल' आकार बनवणंही शक्य आहे. गोलच हवे असं काही नाही. 'रिझनेबल' म्हणजे काय ते बानाक-तार्स्की सांगतात. अनंत गोलांचं उत्तर माझ्या माहितीप्रमाणे थोडं नंतर आलं. एकदा बघून खात्री करतो. ह्यावर अजून काय म्हणता येईल त्याचा विचार करतोच. ते‌ निवडीच्या गृहीतकाचंही आहे डोक्यात.

फा, स्वाती, अमित, जिज्ञासा, सामो, आणि सर्वच, तुमचे प्रतिसाद आणि चर्चा छान आहे. खरं तर इतकं चाललंच आहे, तर जरा अजून स्पष्ट‌ करणारा प्रतिसाद लिहिता येतो का विचार करतो. लेख बोजड वाटू नये, म्हणून मी तो‌‌ आत्ता जसा आहे तसा थोडा हलका-फुलका ठेवला. पण नक्की‌ विचार करतो काय सांगता येईल आणि कसं सांगता येईल त्याचा. Happy

स्वाती, धागा हायजॅक नाही, ते रिलेटेडच आहे. उलट अशी चर्चा व्हावी. मला ते आवडेलच. एकातून दुस-याची लिंक लागणं छान आहे. मलाही तो धागा वाचायचा आहे अजून. Happy

Happy