वर्ड प्रॉब्लेम्स - एक दुर्लक्षित प्रकार

Submitted by राजा वळसंगकर on 14 May, 2021 - 08:22

The twin goal of mathematics education is the development of critical thinking and problem-solving skills and abilities.
(गोष्ट पुढे लिहिणार आहे, पण थोडा ब्रेक म्हणून एक जुना लेख ... )

एका अभ्यासलेखामधे हे वाक्य वाचले आणि थबकलो. मार्कांच्या रस्त्यावर झापड लावून धावणाऱ्यांचा मागे कळपवृत्तीमुळे धावताना आपण काहीतरी विसरलो आहोत हे जाणवत होते, काहीतरी मागे ओढत होत आणि थांब, प्लीज थांब म्हणत होत... हाच का तो विचार ... ?

गणित शिकण्या-समजण्यामधे "वर्ड प्रॉब्लेमस्" किंवा वर्णनात्मक कथन / वृत्तांत पद्धतीने मांडलेले गणिती प्रश्न हे एक महत्त्वाचा प्रकार आहे. दैनंदिन जीवन आणि शिक्षणाची सांगड घालण्यास मदत करतो. जीवनातल्या बऱ्याच प्रश्नांकडे बघण्याचा आणि ते सोडवण्याचा तर्कशुद्ध मार्ग शिकवतो. (माझ्या पाहण्यात आलेल्या परीक्षां प्रश्नपत्रिका मधे असे प्रश्न अभावानेच दिसले.)

गणितातले वर्ड प्रॉब्लेम्स करीअरच्या दृष्टीने पण महत्वाचे आहेत. अनँलिटिकल स्किल्स शिकण्याची गाडी व्हाया रीडींग-कॉमप्रीहेंशन ठेशणा वरून जाते!

"The mastery of word problems is seen as an important test of mathematical ability. When solving such problems, students supposedly go beyond rote learning and mechanical exercises to apply their knowledge to realistic problem situations in which mathematical reasoning becomes an important instrument for making concrete judgements." (ScienceDirect. com)

शैक्षणिक दृष्ट्या वर्ड प्रॉब्लेम बद्दल काही अभ्यास निबंधाचा सारांश.

प्रथम, सर्व अभ्यास निबंध मी पूर्णपणे वाचलेला नाही, पण त्याच्या एबस्ट्रँक्ट आणि त्याचातले उल्लेख वारंवार वाचनात आले. तेव्हढ्या भांडवलावर पुढचे कथन आधारित आहे.

दुसरे असे की हा अभ्यास पाश्चात्य अभ्यासक्रमातील विद्यार्थ्यांचे केलेल्या निरीक्षणावर आहे. वर्ड प्रॉब्लेमस् इतर गणिती प्रश्नांपेक्षा थोडे वेगळ्या पद्धतीने मांडलेले असतात. गणिती तंत्रात मांडता येईल अशी तत्व, माहिती चाळून शोधावी / काढावी लागतात. त्यानंतर योग्य सूत्र, तंत्र वापरून आकडेमोड करून उत्तर द्यावे लागते. असो - मूळ विषयाकडे. (मराठीमध्ये वर्ड प्रॉब्लेम असा उल्लेख असलेला लेख इंटरनेट वर सापडला नाही. अशा प्रकारचे प्रश्न मराठी विद्यार्थ्यांना अवघड जातात का नाही, हे मला माहित नाही. पण "प्रश्न नीट वाचा", "काय विचारली ते पहा", ... उपदेश आढळतो आणि हे बरेच काही सांगून जातं. पर्यायी संज्ञा (terminology) सुचली नाही म्हणून "वर्ड प्रॉब्लम" असा "सपष्ट म्हराटी" शब्द प्रयोग वापरतो. :-))

Verschaffel, Greer, & Corte, 2000
वर्ड प्रॉब्लेम अवघड आहेत का हे पाहण्यासाठी तीन परीक्षण वापरले जाऊ शकतात.

  1. बोलीभाषेची क्लिष्टता,
  2. गणिती क्लिष्टता, आणि
  3. बोलीभाषा आणि गणिती घटकांच्या नात्याची क्लिष्टता.

उदाहरणार्थ: (संख्या) मिळवणे (add or multiply), जोडणे (add or concatenate), वर्ग करणे (square or classify). बोलीभाषेचे शब्द अनेक अर्थाने वापरले जातात. गुणाकार चिन्ह (X, * or ⋅), ग्रीक चिन्ह, इंग्रजी अक्षरांचे मिश्रण. त्यामुळे संदर्भा शिवाय अर्थ स्पष्ट होत नाही ते क्लिष्ट! Daroczy G, and others (2015):- Word problems: a review of linguistic and numerical factors contributing to their difficulty.

क्लिष्ट भाषा, अवघड संकल्पना, आणि तोकड्या भाषाज्ञाना मुळेही वर्ड प्रॉब्लेमस् अवघड वाटते. नेमकं काय विचारले आहे, काय करायचे आहे आणि अर्थातच कसे करावे हा गोंधळ होतो. (Verschaffel et al. 2000).

वर्ड प्रॉब्लेम उदा: तुम्ही भारत एव्हिएशन कंपनी मधे डिझाईन इंजिनीअर आहात. भारत एव्हिएशन कंपनी विमान बनवते. त्यांच्या A-55 विमानाला उड्डाण घेण्यासाठी 2 कि.मी. धावपट्टी लागते. उड्डाण साधण्यासाठी ताशी 360 कि.मी. वेग साधावा लागतो. त्यासाठी लागणारा प्रवेग किती असावा, तो साधायला वेळ किती लागेल. याचे कोष्टक / तक्ता तयार करायला तुमच्या वरिष्ठांनी तुम्हाला सांगितले आहे. साधारण 1500 मी. च्या आत बाहेर विमानांनी हवेत झेप घ्यावी असे असेल तर विशिष्ट प्रवेग किती हवा आहे सांगू शकाल? आणि किती वेळ लगेल ते पण पहा.

या गणिताचे कथन सदोष आहे. त्यात प्रश्न स्पष्ट नाही. तक्ता कशाचा करायचा आहे? 1500 मी. च्या “आत बाहेर” म्हणजे काय? "पहा" म्हणजे काय करायचे? त्यामुळे प्रश्न घडवताना भाषाज्ञान आणि लिहिण्याची कला आवश्यक आहे हे वेगळे सांगायला नको.

शिक्षक आणि विद्यार्थी, दोघांचे भाषेकडे दुर्लक्ष महागात पडतं – कॉग्नीटिव्ह लोड वाढतो. त्याने काही सुचेनासे होत, चीड चीड, राग, हताशपणा आणि विषयाची भीती निर्माण होतो. (Cognitive load theory - हा स्वतंत्र विषय आहे, अभ्यास पत्र बरीच आहेत.)

वर्ड प्रॉब्लेम सारख्या शैक्षणिक घटकाचा दोषही तितकाच मोठा आहे.

ह्या पद्धतीमुळे विद्यार्थी अवास्तव, अतार्किक गृहितांना पासून उत्तरा पर्यंत सर्व, केवळ शिक्षकांनी (किंवा तज्ञांनी) सांगितले ते सत्य म्हणून स्वीकारतात. पुढे हीच वृत्ती होते आणि वास्तवातल्या प्रसंगांसाठी गणिती पद्धत वापरताना अतार्किक अवास्तव गृहितांचा सत्य म्हणून उपयोग करतात. (Verschaffel, De Corte, and Lasure (1994)). याचे एक उदाहरण: आर्थिक गुंतवणूक करताना भविष्यात मिळणारा नफा - स्वीकारलेले अवास्तव गृहीते (trusting someone’s forecast)!

Give a person a fish and you feed them for a day. Teach a person to fish and you feed them for a lifetime.

वर्ड प्रॉब्लेम्स सोडवताना ऍनालीटीकल थिंकिंग कसे सहज अंगवळणी पडते, ते या नमुना प्रक्रियेतून दिसून येते.

वर्ड प्रॉब्लेम सोडवण्यासाठी नमुना प्रक्रिया संहिता: (the solution process)

  1. आधी वर्ड प्रॉब्लेम किमान दोन वेळा वाचा. अनावश्यक विधानावर काट मारा (strike through).
  2. प्रश्न चित्ररूपात मांडून बघा.
  3. कथनातून प्रश्न वेगळे करून स्पष्ट शब्दात लिहून काढा. (1500 मी. ला उड्डाण वेग साधण्यासाठी किती प्रवेग हवा आहे? 1500 मी. अंतर किती वेळात साधले जाईल? ई.)
  4. उत्तर शोधण्यासाठी लागणारे सूत्र (फॉर्म्युला) लिहून काढा.
  5. विशिष्ट माहितीचा तख्ता करा. घटक एकाच मापन पद्धतीमधे बदलून घ्या. (360 की.मी./तास = 100 मी./सेकंद)
  6. सर्व संभव्य सूत्र लिहून काढा. कुठला वापरायचा, का काही द्राविडी प्राणायाम करावा लागेल ते पुढे स्पष्ट होईलच.
  7. सूत्रातील (फॉर्म्युला) विशिष्ट घटक (व्हेरिएबल) आहेत का पहा. व्हेरिएबल नोटेशन अक्षरं वरील तक्त्यात लिहा.
  8. ज्या सूत्रांचे सर्व घटक आहेत ते सूत्र वापरा. जर असे नसेल तर तक्त्यातल्या इतर माहितीतून तो घटक मिळवता येतो का पहा. (गरज पडल्यास द्राविडी प्राणायाम - Manipulate formula to suit Happy )
  9. आकडेमोड करून उत्तर शोधा.
  10. प्रश्न, सूत्र, आकडेमोड पुन्हा तपासा. उत्तर अवास्तव वाटत नाही ना?
  11. ...

प्रत्यक्ष (वर दिलेल उदा.):

  1. एक्साम्पल मधल्या अनावश्यक वाक्यावर काट मारून स्पष्टीकरण द्या. उदा. पहिले 2 वाक्य.
  2. चित्र वर्णन: विमान धावपट्टीवर धावत आहे. सुरवात, उड्डाण, धावपट्टीचा शेवट - सर्व अंतर चित्रावर दाखवा. विमान उड्डाण बिंदू 1500 मी वर दाखवा आणि उड्डाण वेग चित्रावर लिहा.
  3. प्रश्न स्पष्टता: 1500 मी. वर 100 मी./सेकंद वेग गाठण्यासाठी प्रवेग किती हवा? हा वेग साधण्यास वेळ किती लागेल?
  4. कायनेमॅटिक सूत्र:
    v = u + at = दोन घटक नाहीत (a & t)
    d = ½ (u + v)t = जो शोधायचा आहे तोच नाही (a)
    d = ut + ½ at^2 = दोन घटक नाहीत (a & t)
    v^2 = u^2 + 2ad हा फॉर्म्युला वापरू शकतो. फक्त 'a' नाही, त्यामुळे या समीकरणातून तो शोधता येईल, नंतर t शोधता येईल.
  5. विशिष्ट माहिती आणि व्हेरीएबल्स: v = 360 km/h = 100 m/s; d = 1500 m:; u = 0 m/s
  6. ...

शेवटी:

  • वर्ड प्रॉब्लेम लेखन एक स्वतंत्र कौशल्य आहे का? सर्व शिक्षकांकडे असेल? असे लिखाण कोण करेल?
  • ही मेथड स्वतंत्रपणे अभ्यासक्रमात असावी? तुम्हाला काय वाटत?
  • शैक्षणिक साहित्यातले काही विशिष्ट घटक साहित्याला शैक्षणिक रूप देतात. वैचारिक, ललित किंवा इतर साहित्य प्रकारात असे लिखाण/कथन सहसा आढळणार नाही. काय आहेत हे घटक?
विषय: 
Group content visibility: 
Use group defaults

लेखन आवडले. शालेय अभ्यासक्रमात हे कौशल्य अगदी सुरूवातीपासुन नक्कीच हवे. नाहीये का?

हा लेख आवडला. गोष्ट / कूट नसल्याने आणखीनच आवडला.
शेवटच्या परिच्छेदातून योग्य विचार व्यक्त झाला.
-------------
गणित किंवा विज्ञान हे शालेय अभ्यासक्रमाच्या जोखडातून वेगळे काढून सर्वसामान्यांना अभ्यासासाठी आणि माहिती देण्यासाठी वेगळे लिहिले तर हे शक्य होईल. कोणत्याही गोष्टीची शाळा झाली की वाट लागते.
--------------------------
तर लेखाच्या विषयाकडे वळून.
को ओर्डिनेट जिओमेट्री शिकताना अल्जिब्रा शिकताना समिकरणे करताना आपण एकेक गोष्टीकडे अटीकडे लक्ष देऊन समिकरण तयार करत असतो.

Equation of a circle - वर्तुळासाठी समिकरण. वर्तुळास त्रिज्या असते. त्रिज्या म्हणजे मध्यापासून वर्तुळावरच्या कोणत्याही बिंदूचे अंतर. ते सतत समान असते. दोन बिंदूंमधले अंतर काढण्याचे सूत्र वापरून आपण कोओर्डीनेट जिओमेट्रीतले वर्तुळाचे समिकरण तयार करतो.
त्या दोन बिंदुंमधले अंतर = स्थिर संख्या.

------------------------
प्रगल्भ विचारशक्ती प्रत्येकाकडेच नसते. असलेले गणिती होतात.
--------------------
शिडांच्या होड्यांना शिडे किती कशी कुठे पाहिजेत म्हणजे अधिक वेग मिळेल हा प्रश्न Gauss नावाच
या गणितज्नाने सोडवला होता. त्याचा होड्या किंवा समुद्राशी कधीच संबंध आला नव्हता.

प्रगल्भ विचारशक्ती प्रत्येकाकडेच नसते. असलेले गणिती होतात.<<<+१११

तुमचे लेख खरंच खूप कौतुकास्पद आहेत...

गणित विषय माझ्यासाठी नेहमीचं अवघड राहिलायं, त्यामुळे मला तुमच्या लेखाचं खूप कौतुक वाटतं..!

गणित शिक्षणाबाबतची कळकळ असलेला हा लेखही आवडला.

वर्ड प्रॉब्लेम हे कौशल्य हल्ली सुरुवातीपासून शिकवत नाहीत का? मला आठवते, प्राथमिक शाळेत असताना कच्च्या पहिलीत (आत्ताची केजी?) देखील १-१० अंकांचे बेरीज-वजाबाकी वर्ड प्रॉब्लेम असत. त्या वयात लेखन कौशल्य बेताचे असे. क्रेयॉनचे तुकडे, चिंचोके, जुनी बटणं- मणी, बिट्ट्या असे साहित्य वापरुन बाई संकल्पना समजावून देत. बाई प्रश्न विचारत आणि साहित्य वापरुन तुम्ही बेरीज-वजाबाकी करायची असे होते. लेखन कौशल्य वाढत जाई तसे वरच्या वर्गात वर्ड प्रॉब्लेम सोडवताना डाव्या बाजूला कृती आणि उजव्या बाजुला खुलासा लिहावा लागे. माझे शिक्षण मराठी माध्यमाच्या शाळेत झाले. हे शिक्षक डी. एड. असत. मात्र त्यांनी भाषा आणि गणित या दोन्हीचा पाया भक्कम केला. अगदी स्कॉलरशिपच्या परीक्षेची तयारी देखील करुन घेतली. पुढे मी कॉलेजात असताना धाकटी कझिन प्राथमिक शाळेत इंग्रजी माध्यमात. तिलाही वर्ड प्रॉब्लेम असत. मात्र घरी दारी मराठीत व्यवहार आणि फक्त शाळेत शिक्षण इंग्रजी माध्यमात असे असल्याने खालच्या वर्गात असताना पुस्तकातला वर्ड प्रॉब्लेम तिला बरेचदा मराठीत समजावून सांगावा लागे. तसेच स्वतःच्या भाषेत इंग्रजीत विचार मांडण्यावर मर्यादा आल्याने इंग्रजीत खुलासा लिहिणे अवघड जाई. इंग्रजी चांगले येऊ लागल्यावर तिसरी नंतर यात सुधारणा झाली. मुलाच्या बाबतीत घरी-दारी इंग्रजीच असल्याने हा प्रश्न आला नाही. त्याला केजी मॅथ मॅनिपुलेशन प्रकार होता. यात ४ मुलांचा गट करुन १ -१० अंकापर्यंतचे बेरीज वजाबाकीचे वर्ड प्रॉब्लेम मुलांनीच तयार करणे आणि सोडवणे असे. वरच्या वर्गातही सातत्याने वर्ड प्रॉब्लेम्स होतेच. त्या सोबत बरेचदा गटाने हँड्स ऑन कामेही असत जेणेकरुन रोजच्या व्यवहाराशी जोडणे होई.

साधे २-४ ओळींचे वर्ड प्रॉब्लेम लिहायला सर्वच शिक्षकांना जमायला हवे. त्याला काही विशेष कौशल्य लागत नाही. मात्र मोठी गोष्ट अपेक्षित असेल तर ते सर्वच शिक्षकांना लिहायला जमेल/आवडेल असे नाही. गणित शिकवण्यासाठी गोष्टीचा वापर करायचा तर तसे साहित्य मुद्दाम तयार करणे आणि ते इतर पुस्तकांसारखे उपलब्ध होणे गरजेचे. मुलांना काय आवडते त्यानुसार वेगवेगळ्या प्रकारच्या गोष्टी असाव्यात. अशी पुस्तके इथे इंग्रजीत उपलब्ध आहेत. देशात मराठीत उपलब्ध आहेत का?
गणितातल्या संकल्पनेची ओळख करुन देण्यासाठी गोष्ट आणि सरावासाठी शिक्षकांनी तयार केलेले २-४ ओळींचे वर्ड प्रॉब्लेम आणि पुढे जावून मुलांनीच तयार केलेले वर्ड प्रॉब्लेम्स तसेच मुलं आणि शिक्षक एकत्र काम करुन स्टोरी लिहिणे असेही करता येईल. मुलांचा सक्रिय सहभाग महत्वाचा. सोबत हँड्स ऑन अ‍ॅक्टिविटी असेल तर मुलांना अधिक चांगल्या प्रकारे कळते. उदा. कागदी पिझा आणि टॉपिंग्ज वापरुन फ्रॅक्शन, काँबिनेशन शिकवणे, असेच आईसक्रिम पार्लर, केक वगैरेचे करता येते. लहान मुलांना गाड्या, प्लॅस्टिकचे प्राणी, वेगवेगळे डायनोसोर, स्टार फिश, ऑक्टोपस वगैरे आवडतात. त्यांचा वापर गणित शिकवायला केला तर मुलं छान रमतात.

प्रगल्भ विचार शक्ती!
नैसर्गिक/आनुवंशिक का कमावलेली शक्ती? आनुवंशिक नक्कीच नाही कारण सगळ्याच शास्त्रज्ञांचे, विचारवंतांचे वंशज काय करताहेत हे पहा? नैसर्गिक काही प्रमाणात मान्य ...

Acquired skill किंवा प्राप्त केलेली विद्या? मी सांगूं शकत नाही कारण सर्वच शिक्षित हा गुण दाखवत नाहीत. पण फरक पडतो हे माझ मत.

त्यासाठी गणित हा विषय isolate करन त्याला श्रेय देणे चुकीचं होईल. मराठी माणसांपैकी कोणी उदाहरण म्हणून बघायचे असेल तर पुलं चटकन दिसतात. गणिती होते?
मग निष्कर्ष काय? शिक्षण! विचार करायला शिकवू शकतो का? आणि मग त्या पुढचा विचार(आयला काय कटकट आहे!). कोण कसे कुठे कधी शिकवणार? ...

लेख आणि गोष्ट गणितावर किंवा गणितासाठी नाहीत, ते लिहायला ना मी गणितात हुशार ना साहित्य कलेत... कुठेतरी शिक्षणाचं उद्दिष्ट गहाळ झाली असे वाटतं, म्हणून वेगवेगळ्या मार्गाने तिथे सर्वांचं लक्ष जावे हा प्रयत्न...