probability

प्रोबॅबिलिटी म्हणजे एखादी घटना घडायची शक्यता कितपत आहे? उदा. नाणे फेकले तर छाप की काटा? फासा फेकला तर त्यावर १,२, ....., ६ यापैकी अमुकच दान येण्याची शक्यता.
प्रोबॅबिलिटी = किती प्रकारे विशिष्ठ घटना घडू शकते ती संख्या/ एकूण शक्य असलेल्या घटना.
उदा. नाणे फेकले तर छाप आणि काटा या २ शक्यता संभवतात. एका नाण्यावर १ छाप आणि १ काटा. म्हणजे छाप असण्याची प्रोबॅबिलिटी १/२ आणि काटा असण्याची १/२
असेच ६ बाजूवाला फासा टाकला तर एकूण शक्य घटना ६ आणि त्यातला विशिष्ठ आकडा( उदा. ५) वर असणे हे एकाच प्रकारे शक्य आहे. तेव्हा दान ५ पडण्याची प्रोबॅबिलीटी १/६

>>समजा मी दहा वेळा नाणे टाकले व अकराव्यांदा,बाराव्यांदा व तेराव्यांदा काय येऊ शकेल ते प्रोबॅबिलिटीने काढले
व अकराव्यांदा,बाराव्यांदा व तेराव्यांदा काय येईल हे माझ्या मित्राने अंदाजपणजे सांगितले तर प्रत्येक्षात प्रोबॅबिलिटीने काढलेले उत्तर जुळेल का?>>

मला तुमचा प्रश्न कळला नाही. नाणे लोडेड नाही. दर वेळी तुम्ही नाणे उडवता ती घटना स्वतंत्र. म्हणजे आधीच्या घटनेचा परीणाम नंतरच्या घटनेवर नाही. नाणे टाकल्यावर छाप येणार की काटा याची शक्यता १/२. तुम्ही उतर छाप येणार की काटा ते प्रोबॅबिलिटी वापरुन काढत नाही तर उत्तर छाप(किंवा काटा) येण्याची शक्यता किती ते सांगता. उदा. नाणे दहा वेळा उडवले तर ३ वेळा छाप आणि ७ वेळा काटा येण्याची शक्यता

>>नाण्याला मेमरी नसते त्यामुळे मागे कितीवेळा आणि काय आले होते ते त्याला माहित नाही म्हणजे प्रत्येकवेळी ५०% शक्यताच राहणार ना

बरोबर

>> समजा मी दहा वेळा नाणे टाकले व अकराव्यांदा,बाराव्यांदा व तेराव्यांदा काय येऊ शकेल ते प्रोबॅबिलिटीने काढले
व अकराव्यांदा,बाराव्यांदा व तेराव्यांदा काय येईल हे माझ्या मित्राने अंदाजपणजे सांगितले तर प्रत्येक्षात प्रोबॅबिलिटीने काढलेले उत्तर जुळेल का
जुळूही शकेल आणि नाहीही. उत्तरं जुळण्याची प्रॉबबिलिटी परत एकदा ०.५

उत्तरं जुळण्याची प्रॉबबिलिटी परत एकदा ०.५ >> हो
नाणं उडवताना प्रत्येक घटना स्वतंत्र असेल पण पत्त्याच्या कॅट मधुन एक पान काढलं मग ते पान बाजुला ठेवुनच दुसरं पान काढलं तर पहिलं पान इस्पिक असण्याची आणि दुसरं पान पुन्हा इस्पिक असण्याची प्रोबॅ. वेगळी असेल.

रमेश, एखाद उदा टाकता का जे तुम्हाला समजत नाहीये. सोडविता येईल.

पहिला टॉस आणि अकरावा टॉस , बारावा , तेरावा किंवा एक हजार अकरावा टॉस यांची प्रत्येकाची इण्डिव्हिजुअल प्रॉबबिलिटी कायम ०.५ अशीच राहील.
एका मागे एक टॉस केल्यास पहिल्या वेळची बाजूच दुसर्‍यांदा वर येईल याची प्रॉबबलिटी ०.५ * ०.५ = ०.२५ अशी असेल. प्रत्येक पुढच्या टॉसला दर वेळेस आधीच्या आकड्याची निम्मी प्रॉबबलिटी होत जाईल.

खान अ‍ॅकडमी वर फार छान समजवलेले आहे.

एका मागे एक टॉस केल्यास पहिल्या वेळची बाजूच दुसर्‍यांदा वर येईल याची प्रॉबबलिटी ०.५ * ०.५ = ०.२५ अशी असेल. प्रत्येक पुढच्या टॉसला दर वेळेस आधीच्या आकड्याची निम्मी प्रॉबबलिटी होत जाईल. >> ही ०.२५ प्रॉबॅबिलिटी अशीही मिळवता येते

H T (एकूण शक्यता = २^१ = २)
पहिल्या टॉस ला हेड येण्याचे शक्यता १/२=०.५

HH, HT, TH, TT (एकूण शक्यता = २^२ =४)
पहिल्या टॉस ला हेड आल्यास दुसर्‍या टॉसला हेड येण्याची शक्यता १/४=०.२५

हेच जर तीन टॉस केले तर , पहिल्या टॉस ला हेड आल्यास दुसर्‍या टॉसलाही हेड येण्याची शक्यता
HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT, TTT (एकूण शक्यता = २^३ = ८)
=२/८=०.२५
HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT, TTT
पहिल्या दोन हेड नंतर तिसर्‍या टॉसलाही अजून एक हेड येण्याची शक्यता
१/८ = ०.१२५

कमीतकमी दोन हेड हेण्याची शक्यता
HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT, TTT
=४/८ = ०.५

कमीत कमी एक हेड येण्याची शक्यता
HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT, TTT
=७/८ = ०.८७५

ओहो, अमानवीय धाग्याची शाखा इथे निघाली वाटते.

मला नेमकं काय म्हणायचं आहे कदाचित कळाले असेल.. >> मला कळलेलं हे की तुम्ही ताकाला जाऊन भांडे लपवायचा प्रकार केलात ! प्रॉबबिलिटीच्या बेसिक कंसेप्ट्स ( कॉईन टॉस, इ ) याबद्दल प्रश्न नव्हताच मुळात.
चालू द्या तुमचं

अवांतर :
समजा
१ जगातील १% लोकांना टीबी आहे.
२ टीबी ची एक टेस्ट उपलब्ध आहे ती ९९% अ‍ॅक्युरेट आहे. ( ९९% वेळा ती बरोबर उत्तर देते, १% वेळा चुकिचे )

एखाद्याची टीबी टेस्ट पॉझिटिव्ह आली तर त्याला खरेच टीबी झालेला असेल याची शक्यता किती?

हा हा..तसा समज होणे काही गैर नाही.. >> तुमच्या प्रॉबॅबिलिटी समजून घेण्याच्या ईच्छेला आणि मराठीत सम्जावण्याच्या आवाहनाला प्रतिसाद देणार्‍या लोकांचे प्रयत्न अ‍ॅक्नॉलेज न करता (ते करणे/न करणे ज्य्च्च्याच्या त्याच्या सौजन्यशीलतेवर अवलंबून असते..... त्यामुळे ठीकच आहे आणि मुद्द्याचा विषय नाही) तुम्ही जो प्रॉबॅबिलिटीशी अर्थाअर्थी संबंध नसलेला प्रश्नात्मक प्रतिसाद दिला आहे.. तो वाचून ईथे प्रतिसाद देऊन वेळ ऊगीचच वाया गेल्यासासारखे वाटले.
ह्यापेक्षा अमानवीय धाग्यावर बोकलत समर्थनार्थ दोन जादा पोष्टी लिहून वेळ सार्थकी का लावला नाही असा प्रश्न पडला.

जसे fibonacci series निसर्गात दिसते म्हणजे निसर्ग काही गणिती नियमाने चालत आहे का >> जोतिष शास्त्राचे काय म्हणणे आहे ह्याबाबतीत.

>> एखाद्याची टीबी टेस्ट पॉझिटिव्ह आली तर त्याला खरेच टीबी झालेला असेल याची शक्यता किती?
०.५%

माझ्या उत्तरात फॉल्स पॉझिटिव्ह्ज् आणि फॉल्स नेगेटिव्ह्ज् ह्यांची शक्यता समसमान धरली आहे.

पण माझी काही गफलत होत असेल तर तुमच्या सारख्या जाणकारांनी कंसेप्ट क्लीअर करावी ही विनंती >> कॉइन टॉस, डाइस टॉस हे प्रॉबबलिटी शास्त्रातलं बिगरी लेव्हलचं मटेरियल आहे. त्यात जाणकार वगैरे काहि नाही. अनेकांना ते समजलेलं आहे, इतरांना समजवता येतंय.

निसर्गातले फिबोनाची सिरीज आणि इतर पॅटर्न्स , मधमाशा षटकोनी आकारानेच पोळे कसे बनवतात, फुलझाडामधे तीन, चार , पाच किंवा अनेक पाकळ्या असेच का असते , बिग बॅंग च्या आधी काय होतं , वेगवेगळे अ‍ॅटम्स कसे काय निर्माण झाले, वगैरे प्रश्न प्रॉबबिलिटीच्या पलिकडले आहेत. तुम्हाला अशा टाइपची चर्चाच करायची होती तर सरळ तिथे सुरुवात करायची होती. उगा कॉइन टॉस कशाला आणलेत मधेच .

आणि मी अमानवीय झाडाचाही सदस्य असल्याने कदाचीत अस बोलत असाल >> तुम्ही इतर कुठल्या विभागाचे सदस्य आहात किंवा नाहीत याचा काही संबंध नाही. तुमची मूळ पोस्ट आणि नंतरचा प्रतिसाद यात जी तफावत आहे त्यावरुन तुमचा मूळ हेतू प्रॉबबलिटी समजणे हा नव्हताच मुळी हे पुरेसे स्पष्ट आहे.

विकु,
p(a) = टीबी आहे = 0.01
p(b) = टीबी ची टेस्ट अ‍ॅक्युरेट आहे = 0.99

p(a given b) = p(a and b) / p(b) = (0.01) (0.99)/(0.99) = 0.01 ~~ 1%

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem

अर्धा टक्का
http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/BS704_Probability/BS704_Pr...

रावळसाहेब, तुमचा हा प्रयास प्रोबॅब्लिटीचा संबंध जोतिषशास्त्राशी लावण्याकरता असेल तर स्टॅटिस्टिक्स इन जनरल आणि गेम थिअरी इन पर्टिकुलर यावर वाचन करा, असं सुचवेन. काहिंचा दावा आहे कि गेम थिअरीचा उपयोग वेदिक अ‍ॅस्ट्रॉलजी करता होउ शकतो. फिबनाची सिरिजचा हि संबंध जोतिषशास्त्राशी असेल/आहे याची काहि क्ल्पना नाहि...

टवणे सर , हायझ्हेन्बर्ग व सशल या सर्वांची उत्तरे चूक आहेत.

विकु,
p(a) = टीबी आहे = 0.01
p(b given a) = टीबी आहे आणि टीबीची टेस्ट अ‍ॅक्युरेट आहे = 0.99
Baye's theorem वापरायला अजून एक p(b) "टीबीची टेस्ट अ‍ॅक्युरेट आहे" ची प्रोबॅबिलिटी वॅल्यू लागेल ना?

हाब, p(b) म्हणजे टेस्टची अ‍ॅक्युरसी नव्हे. p(b) = टेस्ट पॉझिटिव्ह यायची शक्यता.

टवणे सरांनी दिलेल्या लिंक मध्ये विवेचन दिलेलं आहे. उत्तर आहे ५०%

हाब, मेधा +१
बाय बाय!

टवणे सरांनी दिलेल्या लिंक मध्ये विवेचन दिलेलं आहे. उत्तर आहे ५०% >> .. टण्याने अर्धा टक्का असे उत्तर दिले आहे. ५०% नाही. त्या लिंक प्रमाणे अर्धा टक्का कसे आहे ?

पण विचारलं पण गणित डोक्यावरून चाल्लंय,साध्य सरळ मराठी भाषेत काही माहिती मिळू शकेल का>>>
रावळ , इथे तुम्ही गणित म्हणालात ना ? मग अमानवीय वगैरे फालतु गोष्टींचा काय संबध ?
बरं ते जाऊदे, तुम्हाला विचारल्यावर नम्रपणे , सॉरी ऐवजी काहीतरी पथेटीक एक्स्प्लेनेशन . टाईम वेस्टर कुठले. :राग :

मस्तपैकी गणिताचा बाफ निघाला म्हणुन एकदम भारी वाटलेलं. पण फालतु काहीतरी.

>> टण्याने अर्धा टक्का असे उत्तर दिले आहे

अहो टवणे सरांनी लिंक बरोबर दिली पण तिथले उत्तर चोप्य/पस्ते करायच्या ऐवजी घाईत चुकीचे टंकले असावे असा माझा अंदाज आहे. जाऊन बघा तर त्या लिंक वर.

नॉट टक्का. नुस्ता अर्धा. सॉरी

वरती सशलने अर्धा टक्का लिहिले आहे ते नुसते ०.५ आहे असे लिहायचे होते. ते आणि ती लिंक असे सगळे गोळा करताना अर्धा टक्का असे लिहिले.

हो. माझीही चूक झाली.
०.५ असं उत्तर असायला हवं; टक्का चुकून लिहीलं.
मी टू बाय टू टेबल मांडलं आणि वर लिहीलंय त्याप्रमाणे फॉल्स पॉझिटीव्हज् आणि फॉल्स नेगेटिव्हज् ची शक्यता समसमान धरली.

असामी ++
सशल आणि टवणेंची ऊत्तरं बरोबर असावीत फक्त पर्सेंटाईल आणि डेसीमलची चूक झाली म्हणून विकु लाल शेरा मारला

व्यत्यय
हाब, p(b) म्हणजे टेस्टची अ‍ॅक्युरसी नव्हे. टेस्ट पॉझिटिव्ह यायची शक्यता >>> बरोबर
पण विकुंनी दिलेली p(b given a) आहे ना?
त्यावरून Bayes's theorem वापरून खालची

P(B) is the unconditional probability of a positive test; here it is 198/10,000 = 0.0198..

कशी काढणार ? १००, १०००० चा एस्टिमेशन सेट वगैरे लॉजिकल स्पष्टीकरण कळाले.
त्याखालच्या उदाहरणातही
P(Screen Positive)=0.08, i.e., the probability of screening positive overall is 8% or 0.08.
दिलेले आहे.

विकुं नुसत्या ऊत्तराला मार्क न देता स्टेप्सला मार्क देणारे हाडाचे गुर्जी दिसतात

संयोजकांनी "प्रोबॅबिलिटी किती?' असा खेळ हिट होऊ शकतो, आणि भले भले त्यात सहभागी होऊ शकतात याची नोंद घ्यावी.

तुमच्याकडे कुठली इन्श्युरन्स पॉलिसी आहे का? तुमचा रोग बरा होण्यासाठी अमुक एक औषध उपयोगी आहे म्हणून घेता का? शेअर्स मध्ये पैसे गुंतवता का? उद्या जगाचा अंत होणार आहे का; अशी शंका तुम्हाला येते का? तुम्ही व्हेदर फोरकास्ट बघता का?

बाकी कसला उद्योग नाही म्हणून लोक गणिताचा अभ्यास करतात असं तर नाही ना वाटत तुम्हाला?

मग मी probability शिकलो तर यामध्ये मी काय शिकलो? माझ्या (किंवा इतर कुणाच्याही) आयुष्यात याचा वापर कोठे होतो..

>>>
तुम्ही गाडी चालवता का? बसमध्ये, ट्रेनमध्ये प्रवास करता का?आजारी पडल्यावर डॉक्टरकडे जाता का व गेल्यावर डॉक्टरने सांगितलेल्या चाचण्या करून व त्यानुसार पुढे औषधे घेता का? निरोध सारख्या साधनांचा सुरक्षा वा संततिनियमनासाठी उपयोग केला आहे का?
जर उत्तर हो असेल तर प्रोबॅबिलिटी या गणिती संकल्पनेचा वापर करून सुरक्षित केलेल्या वस्तुंचा तुम्ही सामान्य आयुष्यात वापर करता.

का सगळे निर्णय कवड्या टाकून घेता?

माझ्या (किंवा इतर कुणाच्याही) आयुष्यात याचा वापर कोठे होतो..
>>>
हा तुमचा प्रशन. त्याला उत्तर देताना मी काही प्रश्न विचारले त्याची उत्तरे हो असतील तर तुम्ही प्रोबॅबिलिटीचा रोजच्या आयुष्यात कसा वापर करता ते दिले. जर तुम्ही बसमध्ये चढण्याचा निर्णय बस निर्मितीत रिलायबिलिटी वगैरे गणिते वापरली आहेत म्हणुन ती एका मर्यादेत सुरक्षित आहे असा विचार न करता कवड्या टाकल्या आणि येणार्‍या उत्तरावरून निर्णय घेत असाल तर तुम्ही प्रोबॅबिलिटीचा थेट (डायरेक्ट) वापर करत नाही इतकेच म्हणायचे आहे. अर्थात ज्या बसमध्ये बसणार ती निर्माण करताना वापर झाला आहेच.
गूगलबाबाला विचारले तर तो उत्तर देतोच की नक्की, इथे विचारायला पहिजेच असे कम्पल्शन नाही.

आणि गणिताच्या शिक्षणाचा अनेक प्रकारे उपयोग करता येतो हो. ट्रिग्नोमेट्रीचा उपयोग भिंत आणि शिडीची उंची मोजायला न करता, पेग मोजायला लोकं करतातच की.

अजून वेळ जात नसेल आणि एखादी सुई असेल हाताशी तर हा प्रयोग करायला हरकत नाही: https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle

मी पहिल्यांदा नाणे वर टाकले छापाची बाजू वर करून तर.छापा येण्याची शक्यता काय? तर 1/2 बरोबर? आता असे समजा की पहील्यांदा काटा दुसर्यादा छापा तिसर्यादा काटा आला तर चवथ्या दा मला छापा येण्याची शक्यता काय? तर परत जे सुरूवातीला होत तेच 1/2 >> बेसिक मधे घोटाळा करताय तुम्ही. प्रत्येक डिस्क्रीट कॉइन टॉस ची प्रॉबबलिटी १/२ असणार. पण एका मागे एक असे २,४, ६, १० टॉस केलेत तर त्यात पुढच्या वेळेस टॉस करताना काय बाजू वर येईल त्याचॉ प्रॉबबलिटी वेगळी राहील. तुम्ही प्रत्येक टॉस इंडिपेंडण्ट बघताय की हिस्टरी बघताय यावर अवलंबून आहे.

रोजच्या वापरातल्या अनेक गोष्टींमागे प्रॉबबलिटी आहे. तुमच्या नेटपॅक प्रोव्हाइडरची क्षमता किती आहे हे देखील तो त्याच्या सबस्क्राइबर्सच्या वापराच्या प्रॉबबलिटीवरुन ठरवत असणार. उगाच आपलं आज मी १० जीबी थ्रूपुट एक्स्पेक्ट करतो आणि उद्या १५३ जी बी असं करत नाहीत लोक.

प्रॉबाबलिटी वगैरे थियरी म्हणून ठीक आहे, रिऍलिटी मध्ये काही फरक पडत नाही. कालचीच गोष्ट सांगतो-
ब्लॅकजाक च्या टेबल वर होतो, एक म्हातारी साईड ला होती, तिला हार्ड 20 आला आणि डीलर ने बस्ट कार्ड शो केले.
तिचा टर्न आला तर म्हणे double down करा. आम्ही उडालोच, डीलर समजवयला लागला की तुझा हँड कसा छान आहे आणि कसा तू आणखी एक कार्ड घेतला तर बस्ट होशील. ती म्हणे मला फील होतंय मी जिंकणार, नेक्स्ट कार्ड पूल केला, ace !!
प्रोबॅबिलोटी हरली तिथे. तिचा ट्रस्ट जिंकला !!!!!

>> प्रॉबाबलिटी वगैरे थियरी म्हणून ठीक आहे, रिऍलिटी मध्ये काही फरक पडत नाही

च्रप्स, अहो कवड्या टाकून उत्तरं शोधली तर कधीतरी ती बरोबर असणारच. म्हणून मग प्रत्येक बाबतीत कवड्या टाकूनच उत्तरं शोधावी का?

अहो प्रोबॅबिलिटी ० ते १ च्या मध्ये असते. जो पर्यंत १ असत नाही तोपर्यंत न जि़कण्याचे फायनाईट चान्स असतातच आणि ० असत नाही तो पर्यंत जिंकण्याचे ही.

नाही, कधीकधी dice वापरावेत

बादवे - मेधा च्या उदाहरणात प्रोबॅबिलोटी नाही, forecasting वापरले आहे.

>> प्रॉबाबलिटी वगैरे थियरी म्हणून ठीक आहे, रिऍलिटी मध्ये काही फरक पडत नाही

गट फीलिंग, इंट्युशन ने काही बरोबर आलं आणि अ‍ॅनॅलिसिसने नाही आलं तर मॉडेल चुकलं आहे, आणखी अभ्यास करायची गरज आहे. जेफ बेझोजने काल जे सांगितलं त्यावर फार जाऊ नका.

बादवे - मेधा च्या उदाहरणात प्रोबॅबिलोटी नाही, forecasting वापरले आहे.
>>>
Forecasting techniques मधले एक उपयुक्त आणि लोकप्रिय तंत्र आहे बाएशियन फोरकास्ट. आता याचे जनक सूत्र कोण तर तेच ते बाएज थेरम. गो फिगर

>> नाही, कधीकधी dice वापरावेत Light 1
त्यात कसले दिवे? जुगार खेळायची इच्छा असेल तेव्हा जुगार खेळावा पुस्तकं बाजूला ठेवून.

>> मेधा च्या उदाहरणात प्रोबॅबिलोटी नाही, forecasting वापरले आहे.
प्रॉबबिलिटी च्या मूळाशी सेट थिअरी आहे.
सेट थिअरी, कॅल्क्युलस ह्याशिवाय मॉडेलिंग नाही.

आता समजा, नेटवर ढापलेल साहित्य पकडण्याची प्रोबॅबिलिटी 1% आहे. म्हणजे 100 मधल्या एकाचं पकडलं जातंय.
काय ग्यारंटी दोन जणांनी ढापुन लिहिलं आणि दोघे एकाच वेळी पकडलं जाणार नाही?

एका कॉलेज मध्ये 90% प्लेसमेंट आहे, दुसऱ्यात 15%.
एक मित्र पहिल्या कॉलेज मध्ये गेला तरी प्लेसमेंट झाले नाही, दुसरा मित्र 15% वाल्या कॉलेजात जाऊन प्लेसमेंट झाले.

एका गावात crime रेट 0.1% आहे, म्हणून एखाद्याने घर घेतले आणि त्याचीच घरफोडी झाली.

च्रप्स, ग्यारंटी म्हणजेच प्रॉबॅबिलिटी = १
तुम्ही विचारता आहात की ह्याची प्रॉबॅबिलिटी काय की त्याची प्रॉबॅबिलिटी १ % आहे.... तर ऊत्तर १%

एक मित्र पहिल्या कॉलेज मध्ये गेला तरी प्लेसमेंट झाले नाही, दुसरा मित्र 15% वाल्या कॉलेजात जाऊन प्लेसमेंट झाले. >> दोन्ही कॉलेजात १०० मुलं असतील आणि मार्कांच्या बेसिस वर सिलेक्शन झाले तर पहिला मित्र शेवटच्या दहात आहे आणि दुसरा पहिल्या पंधरात.
पहिल्या मित्राला दुसर्या मित्रापेक्षा जास्त मार्क असू शकतात पण दोन्ही सेट वेगळे आणि ईंडिपेंडंट आहे म्हणून प्रॉबॅबिलिटी सुद्धा वेगळी

एका गावात crime रेट 0.1% आहे, म्हणून एखाद्याने घर घेतले आणि त्याचीच घरफोडी झाली. >> बरोबर तो त्या गावातल्या लोकंसंझ्येच्या त्या १% मध्ये आला.

तुम्ही दरवेळी ब्लॅक जॅक खेळता का? की क्रॅप पण खेळता.?
दोघांचे सलग १०० डाव १०० वेळा खेळून बघा... तुम्हाला ब्लॅक जॅक मध्ये तुम्ही जिंकण्यची आणि हाऊस हरण्याची प्रॉबॅबिलिटी क्रॅप मधल्या पेक्षा कितीतरी जास्त आहे हे लगेच कळून येईल.