रामानुजनचे कोडे!

Submitted by भास्कराचार्य on 1 July, 2018 - 11:12

800px-Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_1.jpg

भारतीय गणिती श्रीनिवास रामानुजन ह्याच्या आयुष्यात घडलेला एक प्रसंग पुढे देतो. ह्या प्रसंगाच्या अनुषंगाने आलेल्या कोड्याची मजा आपण ह्या लेखात घेऊ.

इंडियन स्टॅटिस्टिकल इन्स्टिट्यूटचे संस्थापक पी. सी. महालनोबिस आणि रामानुजन समकालीन होते. केंब्रिजमध्ये हे दोघे काही काळ एकत्र होते. एकदा रामानुजनच्या घरी असताना महालनोबिस एक कोडे सोडवत होता. त्याने बराच वेळ विचार करून ते सोडवले, तेव्हा रामानुजन स्वयंपाकघरात चुलीवर रसम ढवळत होता. महालनोबिस त्याला म्हणाला, "आज मी एक मस्त कोडं सोडवलंय. तुला विचार करायचा का त्यावर?" रामानुजन काम करता करताच म्हणाला, "बोल की!" ह्यावर महालनोबिसने सांगितलेले कोडे पुढीलप्रमाणे -

एका रस्त्यावर ५० ते ५०० च्या दरम्यान संख्येने काही घरे आहेत. घरांचे क्रमांक १ पासून सुरू होऊन १, २, ३, ... असे क्रमाने वाढत जातात. ह्या रस्त्यावर घर क्र. १ पासून सुरवात करून चालता चालता एका घरापाशी आल्यावर असे लक्षात येते, की त्या घराच्या डावीकडे असलेल्या घरांच्या क्रमांकांची बेरीज आणि त्या घराच्या उजवीकडे असलेल्या घरांच्या क्रमांकांची बेरीज समान आहेत! (दोन्ही बेरजांत त्या घराचा क्रमांक धरलेला नाही.) तर त्या घराचा क्रमांक आणि घरांची एकूण संख्या सांगा.

महालनोबिसला स्वतःला हे करायला बराच वेळ लागला होता. पण आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे अगदी हे कोडे सांगताक्षणीच रामानुजन उद्गारला, "घे उत्तर लिहून!" आणि त्याने महालनोबिसला असे एक सूत्र सांगितले, की त्याने ५० ते ५००च काय, पण त्या कक्षेबाहेरीलही सर्व अगणित उत्तरे मिळतील!

काय आहे ह्या कोड्याचे उत्तर? आणि काय असेल ते सूत्र?

------------------------------------------------------

उत्तराबद्दल विचार कसा करावा, ह्याबद्दल थोडा साधा विचार -

जर घरांची एकूण संख्या m मानली, व त्या घराचा क्रमांक n मानला, तर आपल्याला पुढील समीकरण हवे आहे -

BothSums.png

१ पासून क्रमाने संख्यांच्या बेरजेचे सूत्र आपण कधीकाळी शाळेत पाहिलेले आहे. ते वापरून हेच समीकरण पुढील प्रकारे लिहिता येते -

SumFormula.png

ह्याला २ ने दोन्ही बाजूंना गुणून व थोडीफार बेरीज-वजाबाकी करून ह्या समीकरणास पुढील रूप देता येते -

SumsPell.png

ह्यात थोडं नवीन नामकरण करून ह्याला आपण जरा सोपं करू.

mx.pngny.png

आणि मग आपल्याला मिळेल ते सुप्रसिद्ध 'ब्रह्मगुप्त-पेल समीकरण' -

BrahmaguptaPell.png .... (*)

अर्थात, ह्या समीकरणाच्या आपल्याला पूर्णांकांत उकली शोधायच्या आहेत, म्हणजे x आणि y हे दोन्ही पूर्णांकच असले पाहिजेत.

आता काय विचार करावा बरे? समजा वरील समीकरणाऐवजी आपल्याला त्यात १ ऐवजी ०, म्हणजे अगदी थोडासाच बदल करून मिळालेले पुढील समीकरण सोडवता येईल का?

Brahmagupta-Pell0.png

तर हे समीकरण पूर्णांकांत सोडवता येणार नाही. कारण हेच समीकरण आपण पुढीलप्रमाणे पुनर्लिखित करू शकतो -

square2.png

अर्थात,

root2.png

म्हणजेच,

sqrt2.png

पण आपल्याला माहिती आहे, की २ चे वर्गमूळ अश्या प्रकारे पूर्णांकांच्या भागाकाराच्या रूपात लिहिता येत नाही, कारण ते अपरिमेय आहे.

पण काही हरकत नाही! हे नवीन समीकरण सोडवता येत नाही तर नको येऊ दे! आपलं मूळ समीकरण (*) सोडवता येणार नाही, असं कोणीच म्हटलेलं नाही. पण ह्या समीकरणात आणि मूळ समीकरणात थोडासाच फरक आहे, ह्याचाच अर्थ आपल्या मूळ (*) समीकरणाचं उत्तर x आणि y असेल, तर

xy.pngहा भागाकार २ च्या वर्गमूळाच्या जवळचा असला पाहिजे! अर्थात, आपल्याला असे दोन पूर्णांक हवेत, ज्यांचा भागाकार २ चे वर्गमूळ तर नाही, पण त्याच्या जवळ जाणारी संख्या असेल. म्हणजे मग आपल्याला x आणि y, व त्यायोगे m आणि n मिळतील.

मग? दिसतायत का अशा काही संख्या? ५० ते ५०० जाऊ द्या, पण १ ते १० मध्ये? १० ते १०० मध्ये? खेळा थोडं संख्यांशी आणि बघा मिळतंय का उत्तर!

वरील सर्व बीजगणित आणी विचार रामानुजनने मनात क्षणार्धात केला, व नुसत्या आकडेमोडीनेच नाही, तर सुसूत्र पद्धतीने ह्या प्रश्नाचे उत्तर कसे काढता येईल, ते सांगितले. ते कसे, हे पाहू ह्याच कोड्याच्या उत्तराच्या भागात. तोवर धावू द्या विचारांची गाडी!

वाचकांस नम्र विनंती - तुम्हाला उत्तर मिळाले, किंवा इंटरनेटवर सापडले, तरी प्रतिसादांमध्ये ते लगेच फोडू नका. किंवा सांगायचेच असेल, तर देण्याआधी स्पॉयलर अ‍ॅलर्ट द्या. ह्या कोड्याचे उत्तर स्वतः शोधण्यातच त्यामागची गंमत दडली आहे. ती तुम्हीही घ्या, व इतरांनाही द्या. Happy

(क्रमशः)

(रामानुजनचे छायाचित्र पब्लिक डोमेनमधून साभार)

Group content visibility: 
Public - accessible to all site users

२०० पेक्षा जास्त आणि ३०० पेक्षा कमी वाल्या जोडीला ७ ने भागा, बाकी सोडून द्या. जे उत्तर येईल त्या दोन्हीचा गुणाकार केला पुढल्या जोडीतला एक क्रमांक मिळेल, आणि उत्तरातल्या मोठ्या अंकाचा वर्ग केला की दुसरा अंक मिळेल (पुढच्या जोडीतला)

५० च्या आत n = 35 आणि m= 49 ही एक जोडी सापडली. सात ने भाग जाणार्‍या संख्या आहेत.
एक सहज विचार आलेला की x-2y^2 = 1 यायला, एक शक्यता अशी की x हा १ अथवा ९ ने संपणारा पूर्णांक असवा आणि y हा ५ अथवा 0 ने संपणारा पूर्णांक असावा. आणि दोन्ही जोड्या ७ ने भाग जाणार्‍या असाव्यात.

माझ्या वरिल पोस्ट मधील अंदाज साफ चूकीचे आहेत.

कुतूहल म्हणुन excel मध्ये एक macro बनवला, उत्तर मिळवण्यास.
फार रुडली लिहिलाय, काय केलं ते लौकर कळण्यास, वापरुन बघा जोड्या मिळतील.

Sub Main

For n=1 to 500
y = 2*n
x = (2*y^2) +1
l = x^0.5
p = Int(l)
If l - p = 0 Then
m= (l - 1)/2
msgbox n & ", " & m
End If
Next
End Sub

वरिल macro ने उत्तर तर मिळालेय, spoiler टाकत नाही. ज्यांना उत्तर हवे असेल, वरिल macro वापरुन बघा.
पण एवढे करुन कसे सोडवावे याच्या जवळपासही पोचलो नाही.

मानव, य = १ तू ५००, ने सुरुवात करुन क्ष आणि य च्या जोड्या मिळवा. मग आपोआप म आणि न मिळतील.

९८०० च्या पुढची संख्या
५७१२१ - ४०३९१ Happy
हे उत्तर मी माझ्या समीकरणात अमितव यांची वजाबाकीची आयडिया वापरून काढल. Happy
माझ्या समिकरणात जोडीमधील संबंध कळतो. त्यात अमितव यांचा आधीच्या जोड्यांमधील बेरीज हा नविन जोड्या मधील फरक घेतला. व उत्तर आल.

अजून एक जोडी टेस्ट केली . Happy
३३२९२८, २३५४१६

३३२९२८-२३५४१६ =५७१२१ + ४०३९१ (अमितव फॉर्म्युला) माझ्या समिकरणात घातल्यावर उत्तर आल.

अजून एक जोडी - १९४०४४९ -१३७२१०५
१९४०४४९ -१३७२१०५ = ३३२९२८ + २३५४१६

अमितव फॉर्मुला का वर्क होतो माहित नाही. पण होतो, आणि पुढची जोडी शोधण्यासही मदत होते. Happy

आता माझ्या एक्सेल शीट मधे आधीच उत्तर टाकल की पुढची जोडी तयार. एक्सेल शीट quadratic equation सोडवायला बनवाव लागल. Happy

1 , 1
6 , 8
35 , 49
204 , 288
1189 , 1681
6930 , 9800
40391 , 57121
235416 , 332928
1372105 , 1940449
7997214 , 11309768

विक्रमसिंह, तुमचा फोर्मुला सांगा.

जर
घरांची संख्या क्ष
मधले घर न
तर (क्ष*क्ष+क्ष)/2=न*न ........... 1
हे समिकरण काढता येते.
क्ष - न = आधीच्या जोडीची बेरीज .....2
1 आणि 2 ही समिकरणे वापरून एक quadratic equation मिळते.
ते सोडवून आपले उत्तर मिळते.

समिकरण 2 ची सिद्धता बाकी आहे.
पण उत्तर बरोबर येते.

घर क्रमांक ५० सोडून ५१ ते ५००पर्यन्त बेरीज करा जी संख्या येते तीच ५०० ते ५१ येणर कारण घर एकाच ओळीत आहेत कारण की जातांना घर उजव्या बाजु असतिल तर तीच घरे वापस येतांना डव्या बाजु असतिल म्हणजे घर क्रमांक ५० बेरिज संख्या बेरिज केल्यावर कळेल

सहा ओळींचा पायथॉन प्रोग्राम लिहुन खालील जोड्या मिळाल्या. पण सुत्र अजुन मिळाले नाही Sad

1 1
6 8
35 49
204 288
1189 1681
6930 9800
40391 57121
235416 332928
1372105 1940449
7997214 11309768
46611179 65918161
85225144 120526554
93222358 131836322
101219572 143146091
131836323 186444715
139833537 197754484
170450288 241053108
178447502 252362877
186444716 263672645
194441930 274982414
202439144 286292182
209064253 295661501
210436358 297601951
217061467 306971270
225058681 318281038
233055895 329590807
241053109 340900575
255675432 361579663
263672646 372889431
271669860 384199200
279667074 395508968
287664288 406818737
310283825 438807593
318281039 450117361
326278253 461427130
334275467 472736898
340900576 482106217
348897790 493415986
356895004 504725754
364892218 516035523
372889432 527345291
380886646 538655060
387511755 548024379
388883860 549964828
395508969 559334147
396881074 561274597
403506183 570643916
404878288 572584365
411503397 581953684
418128506 591323003
419500611 593263453
420872716 595203902
426125720 602632772
427497825 604573221
434122934 613942540
435495039 615882990
442120148 625252309
450117362 636562077
451489467 638502527
458114576 647871846
459486681 649812295
464739685 657241165
466111790 659181614
472736899 668550933
474109004 670491383
480734113 679860702
482106218 681801151
488731327 691170470
490103432 693110920
496728541 702480239

Pages