विचित्र गणित

Submitted by नरेश माने on 15 April, 2015 - 02:09

आज सकाळी महाराष्ट्र टाईम्सचा ई-पेपर चाळत असताना एक बातमी वाचनात आली. "गणिताने उडवली जगाची झोप" ह्या मथळ्याखालील ती बातमी उघडून पाहिली आणि ते विचित्र वाटणारे गणित दृष्टीस पडले. पहिल्यांदा वाटले आंतरजालीय विश्वात अश्या अनेक कंड्या पिकवल्या जातात त्यापैकीच एक ही सुध्दा असावी. पण पुर्ण बातमी वाचल्यावर लक्षात आले की, 'सिंगापूर अँड एशियन स्कूल मॅथ ऑलिम्पियाड्स'तर्फे (सास्मो) आठ एप्रिल रोजी आयोजित करण्यात आलेल्या परीक्षेत हा प्रश्न विचारण्यात आला होता. सिंगापुरच्या राष्ट्रीय गणित यंत्रणा ही नावलौकिक प्राप्त संस्था आहे जिचा आदर्श अमेरिकेतील न्युयॉर्क मधील शाळांनीही घेतला आहे असे त्या बातमीत नमुद केले होते. त्यामुळे हा गणिती प्रश्न नक्कीच कोणाची तरी फसवण्याची युक्ती असणार नाही.

ते गणित असे आहे.

Albert & Bernard just become friend with Cheryl, and they want to know when her birthday is. Cheryl gives them a list of 10 possible dates.

May 15 .. May 16 .. May 19

June 17 .. June 18

July 14 .. July 16

August 14 .. August 15 .. August 17

Cheryl then tells Albert and Bernard separately the month and the date of her birthday respectively.

Albert : I don't know when Cheryl's birthday is, but I know that Bernard does not know too.

Bernard : At first I don't know when Cheryl's birthday is, but I know now.

Albert : Then I also know when Cheryl's birthday is.

So when is Cheryl's birthday?

हे गणित पाहून मला दोन प्रश्न पडले.

१)या परिक्षेला बसलेले किती विद्यार्थी हा प्रश्न अचुक सोडवू शकले असतील ते सुध्दा अंदाचे उत्तर न लिहीता?

२) कोणत्या गणिती सुत्रानुसार याची अचुक उकल करता येईल?

ही त्या बातमीची लिंक. http://maharashtratimes.indiatimes.com/international/The-Internet-is-Fin...

आज हा धागा मायबोलीकरांसाठी त्यामुळेच उघडत आहे. जर कोणाला माझ्या प्रश्नांची उत्तरे माहित असतील तर जरूर कळवा. आणि जर कोणाला अजुन काही प्रश्न हे गणित पाहून पडले असेल तर ते सुध्दा ह्या धाग्यावर जरूर शेअर करा.

Group content visibility: 
Public - accessible to all site users

मी काल रात्रीच हे गणित

मी काल रात्रीच हे गणित व्हॉट्सपवर सोडवले.

चेरील अल्बर्टला महिना सांगते.
अर्थात नुसत्या महिन्यावरून अल्बर्ट ओळखू शकणार नाहीच
ते ऐकून अल्बर्ट १०० % शुअर होतो की उत्तर बर्नाल्डला सुद्धा माहीत नसणार.
म्हणजे त्या महिन्यात सर्व डेट्स अश्या असणार की ज्या आणखी कोणत्या ना कोणत्या महिन्यात सामाईक असणार.
पण मे महिन्यात १९ आणि जुन महिन्यात १८ या डेट युनिक आहेत.
याचा अर्थ अल्बर्टला सांगितलेला महिना जुलै किंवा ऑगस्टच असणार.

आता अल्बरटचा हा डायलॉग ऐकून बर्नाल्डला सुद्धा हे समजते की महिना जुलै किंवा ऑगस्टच आहे.

आता त्याची डेट १४ नसणार, कारण ती जुलै आणि ऑगस्ट दोघांमध्ये आहे. अन्यथा बर्नाल्ड कन्फ्युजच राहिला असता..

म्हणजे डेट १६ जुलै, १५ ऑगस्ट, किंवा १७ ऑगस्ट असणार... आणि ती बर्नाल्डला कन्फर्म समजली असणार..

पण पुढे अल्बर्ट बोलतोय की त्याला पण आता कन्फर्म समजले, याचा अर्थ अल्बर्टला सांगण्यात आलेला महिना जुलैच असणार..
अन्यथा जर तो महिना ऑगस्ट असता तर १५ ऑगस्ट की १७ ऑगस्ट याबाबत अल्बर्ट कन्फुजच राहिला असता..

म्हणून उत्तर १६ जुलै Happy

कोणत्या गणिती सुत्रानुसार याची अचुक उकल करता येईल?
>>>
हे गणिती सुत्रानुसार नाही तर लॉजिकने सोडवायचा प्रॉब्लेम आहे.
शालेय स्कॉलरशिप परीक्षेत गणिताच्या जोडीने बुद्धीमत्ता चाचणी असा विषय असतो, हे त्यात मोडावे.

ऋन्मेssष, जर हा प्रश्न एखाद्या प्रश्नमंजुषेच्या कार्यक्रमात किंवा बुध्यांकाच्या पेपरमध्ये (IQ Test) विचारला गेला असता तर तुझे उत्तर पटले असते.

पण हा प्रश्न एका गणिताच्या पेपरमध्ये विचारला गेला आहे. गणिताची उकल करताना एखाद्या सुत्रानुसार ती करावी असे संकेत आहेत. स्टॅटीस्टीकनुसार उत्तर शोधायचे झाल्यास प्रोबॅबिलिटीचे नियम लागू होतील. यापैकी कोणत्याही पध्दतीने जर ती उकल झाली तरच ते उत्तर योग्य ठरेल.

यात काहीच विचित्र किंवा विशेष नाही. असलेच तर इतकेच आहे अशा परीक्षांपासून चार हात लांबच राहणार्‍या लोकांपर्यंत पहिल्यांदाच असे प्रश्न पोहोचले. ऋन्मेऽऽषने तुमच्या दुसर्‍या प्रश्नाचे उत्तर दिलेच आहे. याउप्पर तुम्ही गूगल केलेत तर तुम्हाला ते अजून चांगल्या पद्धतीने समजावणार्‍या अनेक लिंक मिळतील.

मी तुम्ही विचारलेल्या पहिल्या प्रश्नाचे उत्तर द्यायचा प्रयत्न करतो. आता ही परीक्षा तशी नुकतीच झाल्याने अजून निकाल बाहेर पडले नाहीत पण ते जेव्हा बाहेर पडतील तेव्हा माझ्यामते बरेच, म्हणजे निदान निम्मे, विद्यार्थी हा प्रश्न अंदाजे उत्तर न देता बिनचूक सोडवून आले असतील. या मागची कारण मीमांसा - ऑलिम्पियाड्सना शक्यतो विषयाची आवड असलेले आणि जरा अधिक गती असलेलेच विद्यार्थी बसतात. आपल्याला जे अवघड वाटते ते त्यांना सोपे वाटते. मी स्वतः भारतीय ऑलिम्पियाड्सचा अनुभव घेतला असल्याने मी हे ठामपणे सांगू शकतो. माझ्या अनुभवावरून हा प्रश्न त्यांना फार फार तर थोडा विचार करायला लावेल. त्यामुळे निश्चित मोठ्या संख्येने हा प्रश्न विद्यार्थ्यांनी अचूक सोडवला असणार.

थोडे अवांतर -
(१) तुमच्या धाग्यात १५ मे तारीख दोनदा लिहिली आहेत. त्यातली एक १६ मे करा म्हणजे कोडे बरोबर होईल.
(२) ते सास्मो आहे, सोस्मा नव्हे.
(३) हा गणिताचाच प्रश्न आहे. लॉजिक गणिताचीच शाखा मानली जाते.
(४) जर खरेच उत्सुकता असेल तर काही आठवड्यानंतर नेटवर पूर्ण पेपर येईल तेव्हा पाहणे. किंवा अगदी भारतीय ऑलिम्पियाड्सचे पेपर पाहिले तरी चालतील. यापेक्षा पण मेंदूला खुराक प्रश्न मिळतील.

(४) जर खरेच उत्सुकता असेल तर काही आठवड्यानंतर नेटवर पूर्ण पेपर येईल तेव्हा पाहणे. किंवा अगदी भारतीय ऑलिम्पियाड्सचे पेपर पाहिले तरी चालतील. यापेक्षा पण मेंदूला खुराक प्रश्न मिळतील.
>>>>

हे कुठे मिळतील याची लिंक मिळेल का?
जुनेपुराणेही चालतील.

<< Albert : I don't know when Cheryl's birthday is, but I know that Bernard does not know too. >>

या वाक्यावरून

<< म्हणजे त्या महिन्यात सर्व डेट्स अश्या असणार की ज्या आणखी कोणत्या ना कोणत्या महिन्यात सामाईक असणार. >>

हा निष्कर्ष पटत नाही, आणि गणिताचे उत्तर नेमके या निष्कर्षावरच आहे.

हा निष्कर्ष पटत नाही, आणि गणिताचे उत्तर नेमके या निष्कर्षावरच आहे.
>>>

काही हरकत नाही,
सोपे करून सांगतो. (आपले थ्री ईडियट्समधील आमीर सारखे आहे)

जर तो महिना मे किंवा जून असता, तर होऊ शकते बर्थडे तारीख १९ मे किंवा १८ जून असेल.
आणि मग त्या केसमध्ये जर चेरीलने बर्नाल्डला १८ किंवा १९ तारीख सांगितली असती तर बर्नाल्डला थेट उत्तरच मिळाले असते.

पण अल्बर्ट हा कॉन्फिडन्ट आहे की बर्नाल्डलाही उत्तर सापडले नसणारच, याचा अर्थ त्याला सांगितला गेलेला महिना, म्हणजेच चेरीलच्या वाढदिवसाचा महिना मे किंवा जून नाहीये. तो जुलै किंवा ऑगस्टच आहे ज्यातील कुठलीही तारीख असली तरी ती किमान दोन महिन्यांमध्ये येत असल्याने बर्नाल्डला बर्थडे तारीख समजूच शकत नाही. तो महिना कुठला याबाबत ५०-५० कन्फ्युजच राहणार.

या सगळ्यात अल्बर्टचे याबाबत कॉन्फिडन्ट असणे हे महत्वाचे. अन्यथा तो साशंक असता.

ऋन्मेऽऽष .. छान लॉजिक. पायस छान माहिती.

आम्हाला सी ए एंट्रन्स ला लॉजिक होते, पण ती केवळ ओळख होती. तेव्हाही हा विषय आवडला होता.
पुढे आणखी अभ्यास करायला मात्र वेळ मिळाला नाही.

ऋन्मेष बाकीच्यांना डोकं लढवायचा जरा तरी चान्स द्यायचा.
पहिल्याच प्रतिसादात उत्तर काय सांगुन टाकलसं.
Happy

<< पण अल्बर्ट हा कॉन्फिडन्ट आहे की बर्नाल्डलाही उत्तर सापडले नसणारच, याचा अर्थ त्याला सांगितला गेलेला महिना, म्हणजेच चेरीलच्या वाढदिवसाचा महिना मे किंवा जून नाहीये. >>

समजा तारीख May 15 .. May 16 किंवा June 17 यापैकी कुठली असेल तर?

चेतनजी, बर्नांडचे खालील वाक्य खरं तर ह्या प्रश्नाचे उत्तर देत आहे.

Bernard : At first I don't know when Cheryl's birthday is, but I know now.

ऋन्मेऽऽषनी दुसर्‍यावेळी एकदम व्यवस्थित उलगडा करून दिला आहे.

इथे

http://www.businessinsider.in/Heres-how-to-solve-the-simple-high-school-...

असेच उत्तर दिले आहे

पण इथे

http://en.wikipedia.org/wiki/Cheryl%27s_Birthday

मात्र तीन शक्यता आहेत. त्यातलं तिसर्‍या शक्यतेमधलं

Both are not idiots and assume NOTHING (this is important)

हे वाक्य महत्त्वाचं वाटलं.

या शक्यता उद्भवण्याचे एक कारण आहे कि मूळ प्रश्नात व्याकरणाच्या आणि वाक्यरचनेच्या चुका आहेत.
दुसरे म्हणजे तिसरी शक्यतेत अल्बर्ट आणि बर्नार्ड थोडेसे वेगळे वागत आहेत.
4) Albert knows that Bernard does not have 18 or 19, if Bernard did, he would know the answer.
5) Bernard's silence agrees; they both have eliminated June 18 and May 19 w/o saying anything.

इथे सायलेन्स हा शब्द महत्त्वाचा आहे. मूळ कोड्यात ते मध्ये गप्प बसून राहतात का ते लगेच उत्तर देतात हे सांगितलेले नाही. म्हणजे तुम्ही(3री केस लिहिलेला) already ते मध्ये मध्ये काही वेळ गप्प बसत आहेत हे assume करत आहात, भलेही ते कितीका logical असेना. अशा कोड्यांमध्ये हा पुढचा विचार होणे अपेक्षित असेल तर at first both of them stay silent for some time असे क्लिअरली मेन्शन करतात. (गूगल इंटरव्ह्यूवाले असे करून ३र्‍या शक्यतेचेच उत्तर पाहिजे असं निश्चित करतात)

या प्रकारचे अधिक चांगले कोडे/जोक पुढीलप्रमाणे. आधी ऐकला नसेल तर मग विचार करा.
३ लॉजिशियन एका बारमध्ये जातात. बारमन विचारतो, सगळे नेहमीप्रमाणे बीअर घेणार का?
पहिला म्हणतो - मला माहित नाही.
दुसरा म्हणतो - मला माहित नाही.
तिसरा म्हणतो - हो.

>>>> या प्रकारचे अधिक चांगले कोडे/जोक पुढीलप्रमाणे. आधी ऐकला नसेल तर मग विचार करा.
३ लॉजिशियन एका बारमध्ये जातात. बारमन विचारतो, सगळे नेहमीप्रमाणे बीअर घेणार का?
पहिला म्हणतो - मला माहित नाही.
दुसरा म्हणतो - मला माहित नाही.
तिसरा म्हणतो - हो. <<<<<

पहिला म्हणतो - मला माहित नाही. = कारण तो स्वतः जरी "नेहेमीप्रमाणे" बीअर घेणार असला तरी बाकिच्या दोघांबद्दल त्याला माहित नाही.
दुसरा म्हणतो - मला माहित नाही. = यास पहिला घेणार हे कळते, पण तिसर्‍याबद्दल कळलेले नाही म्हणून तो ही म्हणतो की मला माहित नाही.
तिसरा म्हणतो - हो. = पहिल्या दोघांचे उत्तर इतरांबद्दल माहित नाही (पण स्वतः घेणार) हे कळल्यावर तिसरा स्वतःही घेणार असल्याने हो असे उत्तर देतो.
यात "माहित नाही" हे उत्तर माणूस स्वतःबद्दल देणार नाही एक हे गृहितक धरलेले आहे. तसेच बारमन च्या प्रश्नात "नेहेमीप्रमाणे" हा एक क्ल्यू आहे.

असे मला वाटते.

बाप रे! विकी वर याच्या ३ शक्यता आणि ३ उत्तरे दिली आहेत.

माझ्या मते १६ जुलै च्या उत्तरामधील लॉजिक मध्ये एक सेफ गृहीतक आहे - "शेरील ने बर्नार्ड ला दिनांक सांगितला आहे" हे आल्बर्ट ला माहित आहे. व "शेरील ने अल्बर्ट ला महिना सांगितला आहे" हे बर्नार्ड ला माहित आहे.

बरोबर ?????

बापरे. गणितंच गणितं.
आता वारसा वाचतेय. मधेच हे वाचलं. आज रात्री नक्कीच पुन्हा ते गणिताच्या पेपरचं स्वप्न पडणार आणि मी घाबरुन उठणार.

ऋऽऽन्मेष,

माझी तारीख १७ ऑगस्ट आली.

तुम्ही म्हणता ते विधान :

>> याचा अर्थ अल्बर्टला सांगितलेला महिना जुलै किंवा ऑगस्टच असणार.

मला योग्य वाटंत नाही.

आ.न.,
-गा.पै.

So when is Cheryl's birthday?

just go to Cheryl's FB page, check profile .. ............... Why are u so confused ? Happy

पण हा प्रश्न एका गणिताच्या पेपरमध्ये ...............तरच ते उत्तर योग्य ठरेल.
सध्याच्या पद्धतीप्रमाणे तुमचे म्हणणे बरोबर आहे. सध्या आधी एक एक विषय वेगळा शिकवला जातो. गणित विषय असे नाव असले, किंवा स्टॅटिस्टिक्स असे नाव असले की तुम्ही म्हणता त्याच पद्धति शिकवल्या पाहिजेत.
आणि सध्याच्या पद्धतीने गणिताच्या पुस्तकातलेच ज्ञान वापरून उत्तर दिले तरच मार्क. नाहीतर नापास - (नालायक).

पण जसजसे आपण वरच्या वर्गात, कॉलेजमधे जास्त जास्त शिकत जातो, आणि त्याहिपुढे जाऊन व्यावहारिक जगातले प्रश्न सोडवायची वेळ येते तेंव्हा लक्षात येते नुसत्या गणिताच्या, स्टॅटिस्टिक्स च्या किंवा फक्त एका कुणा विषयातील पद्धतींखेरीज इतरहि विषयातील ज्ञान वापरावे लागते. तरच व्यावहारिक प्रश्न सुटतात, नुसत्या पुस्तकी ज्ञानाने नाही. आपल्याला सर्वांना हा अनुभव आलेला आहे.

तर असे नुसते पुस्तकी ज्ञान देऊन व्यावहारिक ज्ञान मिळणार नाही - ते शिकवण्यासाठी लहानपणापासूनच सुरुवात करावी.

आशा आहे की इतर नेहेमी सारख्या प्रश्नांसोबत वरील प्रश्न सध्या तरी नुसता बोनस म्हणून असावा. म्हणजे
कुणि नापास होणार नाहीत. आजकालच्या जगात अनेक देशात शालेय शिक्षणात खूप मार्क मिळवलेल्या मुलासच हुषार समजले जाते. (मुलींनाहि खूप मार्क मिळतात पण जगतल्या पुरुषप्रधान व्यवस्थेत तसे मोठ्या अनिच्छेनेच मान्य केले जाते हे सत्य आहे. बायकांनो :दिवा:)
यावर कुणा एका शास्त्रज्ञाची गोष्ट प्रसिद्ध आहे, त्याने वरवर सोप्या वाटणार्‍या प्रश्नाचे उत्तर तीन चार निरनिराळ्या पद्धतीने कसे काढता येईल ते सांगितले होते. पुढे अर्थातच त्याने पदार्थविज्ञानात नोबेल प्राईझ मिळवले, भरीव कामगिरी केली. नाहीतर त्याच्याबरोबर त्याच गोष्टी इतरहि विद्यार्थि शिकले होते, त्यांच्याकडून ज्ञानात भरीव कामगिरी झाली नाही.

मस्त गणित , भारी डोक्यालिटी आहे.
ऋन्मेषचं लॉजिक आवडलं / पटलं. ( असलं काही तरी करत जा की रे , उगाच भरमसाठ धागे काढण्यापेक्षा)

अरे माझ्या धाग्यांवरून माझा बुद्ध्यांक ठरवू नका रे
शालेय वयात स्कॉलरशिप वगैरे मिळत पेपरात फोटोही आलेला..
फक्त त्यानंतर बुद्धी वाढली नाही इतकेच Proud